Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
c) Existe tal que

Passo 1

Vamos dar uma olhada na proposição: "Para todo número real , existe um número natural tal que ". Aqui, estamos lidando com lógica matemática e a relação entre os conjuntos dos números reais ( ) e dos números naturais ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos ver um exemplo onde a proposição é verdadeira. Suponha que . Precisamos encontrar um número natural que seja maior que 3.7. Fácil, podemos escolher , já que 4 é um número natural e 4 > 3.7. Então, para esse valor de , a proposição funciona.

Passo 3

Agora, vamos pensar se existe algum contra-exemplo, ou seja, algum número real para o qual não existe um número natural que seja maior que . Mas, sempre que você escolher qualquer número real, por menor que seja, você pode sempre adicionar 1 e encontrar um número natural maior. Por exemplo, se , então satisfaz . Não conseguimos encontrar um que quebre essa regra.

Resposta

Para todo , existe um tal que . Não existem contra-exemplos.

Exercícios relacionados

As proposições abaixo têm duas variáveis livres e (ambos números naturais). Para cada uma delas, dê um exemplo e um contraexemplo, se existirem:
a) e
Para cada uma das proposições do Exercício 21, escreva a sua negação em linguagem simbólica e em linguagem natural
22h.) (Existe um número racional que é maior ou igual ao seu inverso).
Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II): , para .
Afirmativa (I) é falsa e afirmativa (II) é verdadeira.
Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II): , para .
Afirmativas (I) e (II) são ambas verdadeiras.