Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
c)
Existe
tal que
c)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na proposição: "Para todo número real
, existe um número natural
tal que
". Aqui, estamos lidando com lógica matemática e a relação entre os conjuntos dos números reais (
) e dos números naturais (
).
Passo 2
Primeiro, vamos ver um exemplo onde a proposição é verdadeira. Suponha que
. Precisamos encontrar um número natural
que seja maior que 3.7. Fácil, podemos escolher
, já que 4 é um número natural e 4 > 3.7. Então, para esse valor de
, a proposição funciona.
Passo 3
Agora, vamos pensar se existe algum contra-exemplo, ou seja, algum número real
para o qual não existe um número natural
que seja maior que
. Mas, sempre que você escolher qualquer número real, por menor que seja, você pode sempre adicionar 1 e encontrar um número natural maior. Por exemplo, se
, então
satisfaz
. Não conseguimos encontrar um
que quebre essa regra.
Resposta
Para todo
, existe um
tal que
. Não existem contra-exemplos.