Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): cos (x^32)=sumn=0^infty(-1)^n x^6 n4^n(2 n)!. Afirmativa (II): x^51+x=sumn=0^infty(-1)^n x^5 n, para |x|<1.
Afirmativas (I) e (II) são ambas falsas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas afirmações envolvendo séries infinitas e funções trigonométricas e racionais. O conteúdo aqui é sobre séries de Taylor e expansões em séries. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como expandir funções em séries e verificar se as afirmações dadas estão corretas ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Afirmativa I:
cos(x^32) = sumn=0^infty (-1)^n x^6n4^n(2n)!
A gente sabe que a série de Taylor para o cosseno é:
cos(y) = sumn=0^infty (-1)^n y^2n(2n)!
Aqui, substituímos cos(x^32) = sumn=0^infty (-1)^n (x^32)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n4^n(2n)! por :
Então, a Afirmativa I está correta.

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmativa II:
x^51+x = sumn=0^infty (-1)^n x^5n, para |x|<1
A série geométrica básica é:
11 - r = sumn=0^infty r^n, para |r| < 1
Se adaptarmos para 11 + x = sumn=0^infty (-1)^n x^n, para |x| < 1 , temos x^51 + x = x^5 sumn=0^infty (-1)^n x^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n+5 :
Multiplicando ambos os lados por :
Porém, a Afirmativa II apresenta , o que não corresponde à expansão correta. Portanto, essa afirmação está errada.

Resposta

A Afirmativa I está correta, enquanto a Afirmativa II está errada. Portanto, a afirmação de que ambas são falsas é falsa.

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