Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): cos (x^32)=sumn=0^infty(-1)^n x^6 n4^n(2 n)!. Afirmativa (II): x^51+x=sumn=0^infty(-1)^n x^5 n, para |x|<1.
Afirmativa (I) é verdadeira e afirmativa (II) é falsa.

Passo 1

Beleza, vamos analisar as duas afirmativas que você enviou. O conteúdo aqui envolve séries de potências e expansões de funções usando séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar lembrar como expandir funções trigonométricas e racionais em séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na afirmativa (I):
cos (x^32) = sumn=0^infty(-1)^n x^6n4^n(2 n)!
Sabemos que a série de Taylor para o cosseno é:
cos(y) = sumn=0^infty (-1)^n y^2n(2n)!
Aqui, substituímos cos(x^32) = sumn=0^infty (-1)^n (x^32)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n4^n (2n)! por :
Viu? Essa é exatamente a expressão dada na afirmativa (I). Então, ela está correta!

Passo 3

Agora, vamos para a afirmativa (II):
x^51+x = sumn=0^infty(-1)^n x^5n, para |x| < 1
Vamos expandir o lado esquerdo usando a série geométrica. Sabemos que:
11+x = sumn=0^infty (-1)^n x^n, para |x| < 1
Multiplicando ambos os lados por x^51+x = x^5 sumn=0^infty (-1)^n x^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n+5 = sumn=5^infty (-1)^n-5 x^n :
sumn=0^infty (-1)^n x^5n
Mas a série dada na afirmativa (II) é:
Isso significa que os expoentes de são múltiplos de 5, o que não corresponde à expansão correta de . Portanto, a afirmativa (II) está errada.

Resposta

Afirmativa (I) é verdadeira e afirmativa (II) é falsa.

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