Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto. $(b) ponto
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o ponto está mesmo na superfície dada pela equação . Depois, queremos descobrir a equação do plano tangente nessa superfície nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto e, consequentemente, a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto está na superfície . Isso significa que, substituindo e na equação, o valor de deve ser 6.
Vamos calcular:
Sabemos que , então:
Como é igual ao valor dado no ponto, o ponto realmente está na superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e a . As derivadas parciais nos dão as inclinações da superfície nas direções de e .
Vamos calcular:
Primeira, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :
Passo 5
A equação do plano tangente em um ponto é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: