Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2 x^2 + x y^2 nos pontos A = (1, 1, 3) e B = (-1, 2, -2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações dos planos tangentes à superfície nos pontos e . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os pontos e realmente estão na superfície dada. Isso é importante porque só podemos encontrar planos tangentes em pontos que pertencem à superfície.
Para o ponto :
Então, está na superfície.
Para o ponto :
Então, também está na superfície.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções e , respectivamente.
A função dada é:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas nos pontos e .
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos usar a equação do plano tangente:
Aplicando isso aos pontos e :
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Resposta

As equações dos planos tangentes são:
Para o ponto :
Para o ponto :

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