Obtenha equações para os planos tangentes à superfície nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações dos planos tangentes à superfície nos pontos e . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os pontos e realmente estão na superfície dada. Isso é importante porque só podemos encontrar planos tangentes em pontos que pertencem à superfície.
Para o ponto :
Então, está na superfície.
Para o ponto :
Então, também está na superfície.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções e , respectivamente.
A função dada é:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas nos pontos e .
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos usar a equação do plano tangente:
Aplicando isso aos pontos e :
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Resposta

As equações dos planos tangentes são:
Para o ponto :
Para o ponto :

Exercícios relacionados

Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto. $(b) ponto
Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II): , para .
Afirmativa (I) é verdadeira e afirmativa (II) é falsa.
Se varia de para , obtenha e compare os valores e dz.
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(a)