Obtenha equações para os planos tangentes à superfície
nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações dos planos tangentes à superfície
nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se os pontos
e
realmente estão na superfície dada. Isso é importante porque só podemos encontrar planos tangentes em pontos que pertencem à superfície.
Para o ponto
:
Então,
está na superfície.
Para o ponto
:
Então,
também está na superfície.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções
e
, respectivamente.
A função dada é:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas nos pontos
e
.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, podemos usar a equação do plano tangente:
Aplicando isso aos pontos
e
:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Resposta
As equações dos planos tangentes são:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Exercícios relacionados
Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto. $(b)
ponto
Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II):
, para
.
Afirmativa (I) é verdadeira e afirmativa (II) é falsa.
Afirmativa (l):
Afirmativa (I) é verdadeira e afirmativa (II) é falsa.
Se
varia de
para
, obtenha e compare os valores
e dz.
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(a)