Analise as afirmativas e classifique-as em verdadeiro ou falso. Apresente a justificativa nas falsas.
iii) 0 triąngulo cujos vértices são A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) determinam um triángulo equilátero.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: queremos saber se o triângulo formado pelos pontos , e é equilátero. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e no espaço é:
Vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos do triângulo.

Passo 3

Calculando a distância entre AB = raiz(2-2)^2 + (1-3)^2 + (-1-1)^2 = raiz0 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 approx 2,83 e :

Passo 4

Agora, a distância entre AC = raiz(2-2)^2 + (2-3)^2 + (-2-1)^2 = raiz0 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10 approx 3,16 e :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre BC = raiz(2-2)^2 + (2-1)^2 + (-2-(-1))^2 = raiz0 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 approx 1,41 e :

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados:
AB approx 2,83, AC approx 3,16, BC approx 1,41
Para o triângulo ser equilátero, todos os três lados devem ter o mesmo comprimento.

Resposta

Falso. Os lados do triângulo têm comprimentos diferentes ( , e ), portanto, o triângulo não é equilátero.

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