Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
a) W;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um espaço vetorial , que são todas as matrizes 2x2, e um subespaço gerado por um conjunto de matrizes . Nosso objetivo aqui é descobrir exatamente o que é esse subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser gerado pelo conjunto . Isso quer dizer que é formado por todas as combinações lineares das matrizes que estão em . Então, nosso trabalho é ver quais dessas matrizes realmente contribuem para formar .
Passo 3
Vamos começar listando as matrizes no conjunto :
Para facilitar, vamos representar cada matriz como um vetor em , considerando a ordem das entradas:
Então, nossas matrizes ficam assim:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Se uma delas puder ser escrita como combinação das anteriores, ela não adiciona “nova direção” ao subespaço .
Vamos ver se pode ser escrita como combinação de e :
Isso fica:
Resolvendo, temos:
Então, . Portanto, é dependente dos primeiros dois vetores.
Passo 5
Vamos verificar c1 M1 + c2 M2 = M4 :
c1 (1, 1, 0, 0) + c2 (0, 0, 1, 1) = (2, 2, 3, 3)
Ou seja:
c1 = 2 c1 = 2 c2 = 3 c2 = 3
Resolvendo:
Então, . Ou seja, também é dependente dos primeiros dois vetores.
Passo 6
Como e podem ser expressos como combinações lineares de e , nosso subespaço é gerado apenas por e . Então, um conjunto gerador mínimo (base) para é .
Resposta
O subespaço W = span 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 é o conjunto de todas as combinações lineares das matrizes e , ou seja: