Sejam V=M2 e W um subespaço vetorial de V gerado pelos vetores do conjunto A=[ll1 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 1],[ll1 & 1 2 & 2],[ll2 & 2 3 & 3]. Determine:
a) W;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um espaço vetorial , que são todas as matrizes 2x2, e um subespaço gerado por um conjunto de matrizes . Nosso objetivo aqui é descobrir exatamente o que é esse subespaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser gerado pelo conjunto . Isso quer dizer que é formado por todas as combinações lineares das matrizes que estão em . Então, nosso trabalho é ver quais dessas matrizes realmente contribuem para formar .

Passo 3

Vamos começar listando as matrizes no conjunto A = 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 , 1 & 1 2 & 2 , 2 & 2 3 & 3 :
a & b c & d (a, b, c, d)
Para facilitar, vamos representar cada matriz como um vetor em M1 &= (1, 1, 0, 0) M2 &= (0, 0, 1, 1) M3 &= (1, 1, 2, 2) M4 &= (2, 2, 3, 3) , considerando a ordem das entradas:
Então, nossas matrizes ficam assim:

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Se uma delas puder ser escrita como combinação das anteriores, ela não adiciona “nova direção” ao subespaço c1 M1 + c2 M2 = M3 .
Vamos ver se c1 (1, 1, 0, 0) + c2 (0, 0, 1, 1) = (1, 1, 2, 2) pode ser escrita como combinação de c1 = 1 c1 = 1 c2 = 2 c2 = 2 e :
Isso fica:
Resolvendo, temos:
Então, . Portanto, é dependente dos primeiros dois vetores.

Passo 5

Vamos verificar c1 M1 + c2 M2 = M4 :
c1 (1, 1, 0, 0) + c2 (0, 0, 1, 1) = (2, 2, 3, 3)
Ou seja:
c1 = 2 c1 = 2 c2 = 3 c2 = 3
Resolvendo:
Então, . Ou seja, também é dependente dos primeiros dois vetores.

Passo 6

Como e podem ser expressos como combinações lineares de e , nosso subespaço é gerado apenas por e . Então, um conjunto gerador mínimo (base) para é .

Resposta

O subespaço W = span 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 é o conjunto de todas as combinações lineares das matrizes e , ou seja:

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