Dada a circunferência determinada pela equação x^2+6 x+y^2-2 y-6=0, determine
a) o centro e o raio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma circunferência: . A nossa missão aqui é encontrar o centro e o raio dessa circunferência. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que ajuda a colocar a equação no formato padrão da circunferência: , onde é o centro e é o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 6x + y^2 - 2y = 6 e de separadamente:
Isso vai facilitar na hora de completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de (62)^2 = 9 . Pegamos o coeficiente de x^2 + 6x + 9 , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos esse valor dentro da equação:
Isso forma um quadrado perfeito: .

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para os termos de (-22)^2 = 1 . O coeficiente de y^2 - 2y + 1 é -2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos esse valor na equação:
E isso também forma um quadrado perfeito: .

Passo 5

Agora, adicionamos os valores que completamos na equação original e compensamos o lado direito:
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 6 + 9 + 1
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16
Agora, a equação está no formato padrão da circunferência.

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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