Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
(a) f(x) = { raiz((x-1)/(x^2-1)), x != +- 1 ; raiz(2)/2, x=1 ; 0, x=-1 }

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função definida por partes no enunciado. Essa função está relacionada ao conceito de continuidade em cálculo, onde verificamos se o gráfico de não tem “quebras” ou “saltos”. Para resolver isso, vamos precisar calcular os limites da função nos pontos críticos e e comparar com os valores que a função assume nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para :
Podemos fatorar o denominador:
Então,
Isso simplifica a análise.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em . Primeiro, calculamos o limite quando se aproxima de 1:
Comparando com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em . Calculamos o limite quando se aproxima de -1:
Aqui, se aproxima de 0, tornando o denominador zero e o limite tende ao infinito:
Comparando com o valor da função em :
Como o limite não é igual ao valor da função, não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto em .

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