Qual o significado de uma função ser contínua em a? Dê um exemplo de uma função que não é contínua em e , além disso ilustre esta função no sistema cartesiano.

Passo 1

Então, a gente precisa entender o que significa uma função ser contínua em um ponto . Depois, vou te mostrar exemplos de funções que não são contínuas nos pontos , e . Por fim, vou descrever como essas funções se parecem no gráfico cartesiano. Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no gráfico naquele ponto. Mais tecnicamente, é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função não é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos dar exemplos de funções que não são contínuas nos pontos , e .

Exemplo 1: Ponto

Considere a função:
Por que não é contínua em 0?
  • O limite de quando se aproxima de 0 é 1
  • , então a função tem um “buraco” em

Exemplo 2: Ponto

Considere a função:
Por que não é contínua em -1?
  • não está definida (divisão por zero)
  • O limite de quando se aproxima de -1 tende ao infinito
  • Não existe um valor finito para igualar a

Exemplo 3: Ponto

Considere a função:
Por que não é contínua em 2?
  • O limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda é
  • , então a função tem um “salto” em

Passo 4

Agora, vamos imaginar como essas funções aparecem no gráfico cartesiano:
  1. Função com buraco em 0: É praticamente uma linha horizontal em , mas com um ponto vazio em onde .
  2. Função : Tem uma assíntota vertical em , ou seja, o gráfico se aproxima infinitamente daquela linha, sem nunca tocá-la.
  3. Função com salto em 2: Para , é uma parábola , chegando perto de quando se aproxima de 2. Mas em , há um ponto fixo em , criando um salto no gráfico.

Resposta

Uma função ser contínua em significa que não há quebras, saltos ou buracos no gráfico naquele ponto, ou seja, está definida, o limite existe e coincide com . Exemplos de funções que não são contínuas são:
  • em
  • em
  • em
Essas funções apresentam, respectivamente, um buraco, uma assíntota vertical e um salto no gráfico cartesiano.

Exercícios relacionados

Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) não existe.
Determine se o que está estabelecido é Falso ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) Não existe tal que -1 .
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
(a)
Esboce o gráfico de cada função a seguir determine o que se pede:
(a)