Qual o significado de uma função ser contínua em a? Dê um exemplo de uma função que não é contínua em e , além disso ilustre esta função no sistema cartesiano.
Passo 1
Então, a gente precisa entender o que significa uma função ser contínua em um ponto . Depois, vou te mostrar exemplos de funções que não são contínuas nos pontos , e . Por fim, vou descrever como essas funções se parecem no gráfico cartesiano. Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no gráfico naquele ponto. Mais tecnicamente, é contínua em se:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função não é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos dar exemplos de funções que não são contínuas nos pontos , e .
Exemplo 1: Ponto
Considere a função:
Por que não é contínua em 0?
O limite de quando se aproxima de 0 é 1
, então a função tem um “buraco” em
Exemplo 2: Ponto
Considere a função:
Por que não é contínua em -1?
não está definida (divisão por zero)
O limite de quando se aproxima de -1 tende ao infinito
Não existe um valor finito para igualar a
Exemplo 3: Ponto
Considere a função:
Por que não é contínua em 2?
O limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda é
, então a função tem um “salto” em
Passo 4
Agora, vamos imaginar como essas funções aparecem no gráfico cartesiano:
Função com buraco em 0: É praticamente uma linha horizontal em , mas com um ponto vazio em onde .
Função : Tem uma assíntota vertical em , ou seja, o gráfico se aproxima infinitamente daquela linha, sem nunca tocá-la.
Função com salto em 2: Para , é uma parábola , chegando perto de quando se aproxima de 2. Mas em , há um ponto fixo em , criando um salto no gráfico.
Resposta
Uma função ser contínua em significa que não há quebras, saltos ou buracos no gráfico naquele ponto, ou seja, está definida, o limite existe e coincide com . Exemplos de funções que não são contínuas são:
em
em
em
Essas funções apresentam, respectivamente, um buraco, uma assíntota vertical e um salto no gráfico cartesiano.