Qual o significado de uma função
ser contínua em a? Dê um exemplo de uma função que não é contínua em
e
, além disso ilustre esta função no sistema cartesiano.
Passo 1
Então, a gente precisa entender o que significa uma função
ser contínua em um ponto
. Depois, vou te mostrar exemplos de funções que não são contínuas nos pontos
,
e
. Por fim, vou descrever como essas funções se parecem no gráfico cartesiano. Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no gráfico naquele ponto. Mais tecnicamente,
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função não é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos dar exemplos de funções que não são contínuas nos pontos
,
e
.
Exemplo 1: Ponto
Considere a função:
Por que não é contínua em 0?
-
- O limite de
quando se aproxima de 0 é 1 -
, então a função tem um “buraco” em
Exemplo 2: Ponto
Considere a função:
Por que não é contínua em -1?
-
não está definida (divisão por zero) - O limite de
quando se aproxima de -1 tende ao infinito - Não existe um valor finito para igualar a
Exemplo 3: Ponto
Considere a função:
Por que não é contínua em 2?
-
- O limite de
quando se aproxima de 2 pela esquerda é -
, então a função tem um “salto” em
Passo 4
Agora, vamos imaginar como essas funções aparecem no gráfico cartesiano:
- Função com buraco em 0: É praticamente uma linha horizontal em
, mas com um ponto vazio em onde . - Função
: Tem uma assíntota vertical em , ou seja, o gráfico se aproxima infinitamente daquela linha, sem nunca tocá-la. - Função com salto em 2: Para
, é uma parábola , chegando perto de quando se aproxima de 2. Mas em , há um ponto fixo em , criando um salto no gráfico.
Resposta
Uma função
ser contínua em
significa que não há quebras, saltos ou buracos no gráfico naquele ponto, ou seja,
está definida, o limite existe e coincide com
. Exemplos de funções que não são contínuas são:
-
em -
em -
em
Essas funções apresentam, respectivamente, um buraco, uma assíntota vertical e um salto no gráfico cartesiano.