Esboce o gráfico de cada função a seguir determine o que se pede:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para esboçar o gráfico da função definida por partes e determinar algumas características dela. A função é dada por:
Aqui, estamos lidando com funções logarítmica natural ( ) e exponencial ( ). Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta para desenhar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função onde , ou seja, . A função logarítmica natural é definida apenas para e tem algumas características importantes:
  • Passa pelo ponto (1, 0), porque .
  • Cresce sem limites à medida que aumenta.
  • Aproxima-se do eixo (ou seja, se aproxima de 0) mas nunca toca o eixo – isso é chamado de assíntota vertical.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da função onde , ou seja, . A função exponencial tem as seguintes características:
  • Sempre positiva, nunca toca ou cruza o eixo .
  • Passa pelo ponto (0, 1), porque .
  • Decresce rapidamente à medida que se torna mais negativo.
  • Aproxima-se do eixo (ou seja, se aproxima de 0) mas nunca toca o eixo – isso é chamado de assíntota horizontal.

Passo 4

Para esboçar o gráfico completo de , vamos juntar as duas partes:
  • Para , desenhamos a curva de , começando de (1, 0) e subindo lentamente à medida que aumenta, com uma assíntota vertical em .
  • Para , desenhamos a curva de , começando de (0, 1) e descendo rapidamente conforme fica mais negativo, com uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Vamos identificar pontos chave para ajudar no esboço:
  • Ponto de transição em : .
  • Ponto (1, 0) para .
  • Assíntotas: para e para .

Passo 6

Agora, juntando tudo:
  • A parte começa no ponto (0, 1) e desce suavemente em direção ao eixo à medida que fica mais negativo.
  • A parte começa no ponto (1, 0) e sobe lentamente para a direita, com a curva se aproximando, mas nunca tocando, o eixo .

Resposta

O gráfico da função é composto pela função exponencial para , iniciando em (0, 1) e descendo em direção ao eixo , e pela função logarítmica para , iniciando em (1, 0) e subindo lentamente para a direita. As assíntotas são para e para .

Exercícios relacionados

Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
(a)
Qual o significado de uma função ser contínua em a? Dê um exemplo de uma função que não é contínua em e , além disso ilustre esta função no sistema cartesiano.
Dê um exemplo de uma função de modo que em dois pontos distintos e a função tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e não possui raiz no intervalo .
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.