Esboce o gráfico de cada função a seguir determine o que se pede:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para esboçar o gráfico da função definida por partes e determinar algumas características dela. A função é dada por:
Aqui, estamos lidando com funções logarítmica natural () e exponencial (). Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta para desenhar o gráfico completo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função onde , ou seja, . A função logarítmica natural é definida apenas para e tem algumas características importantes:
Passa pelo ponto (1, 0), porque .
Cresce sem limites à medida que aumenta.
Aproxima-se do eixo (ou seja, se aproxima de 0) mas nunca toca o eixo – isso é chamado de assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da função onde , ou seja, . A função exponencial tem as seguintes características:
Sempre positiva, nunca toca ou cruza o eixo .
Passa pelo ponto (0, 1), porque .
Decresce rapidamente à medida que se torna mais negativo.
Aproxima-se do eixo (ou seja, se aproxima de 0) mas nunca toca o eixo – isso é chamado de assíntota horizontal.
Passo 4
Para esboçar o gráfico completo de , vamos juntar as duas partes:
Para , desenhamos a curva de , começando de (1, 0) e subindo lentamente à medida que aumenta, com uma assíntota vertical em .
Para , desenhamos a curva de , começando de (0, 1) e descendo rapidamente conforme fica mais negativo, com uma assíntota horizontal em .
Passo 5
Vamos identificar pontos chave para ajudar no esboço:
Ponto de transição em : .
Ponto (1, 0) para .
Assíntotas: para e para .
Passo 6
Agora, juntando tudo:
A parte começa no ponto (0, 1) e desce suavemente em direção ao eixo à medida que fica mais negativo.
A parte começa no ponto (1, 0) e sobe lentamente para a direita, com a curva se aproximando, mas nunca tocando, o eixo .
Resposta
O gráfico da função é composto pela função exponencial para , iniciando em (0, 1) e descendo em direção ao eixo , e pela função logarítmica para , iniciando em (1, 0) e subindo lentamente para a direita. As assíntotas são para e para .