Esboce o gráfico de cada função
a seguir
determine o que se pede:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para esboçar o gráfico da função
definida por partes e determinar algumas características dela. A função é dada por:
Aqui, estamos lidando com funções logarítmica natural (
) e exponencial (
). Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta para desenhar o gráfico completo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função onde
, ou seja,
. A função logarítmica natural é definida apenas para
e tem algumas características importantes:
- Passa pelo ponto (1, 0), porque
. - Cresce sem limites à medida que
aumenta. - Aproxima-se do eixo
(ou seja, se aproxima de 0) mas nunca toca o eixo – isso é chamado de assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da função onde
, ou seja,
. A função exponencial tem as seguintes características:
- Sempre positiva, nunca toca ou cruza o eixo
. - Passa pelo ponto (0, 1), porque
. - Decresce rapidamente à medida que
se torna mais negativo. - Aproxima-se do eixo
(ou seja, se aproxima de 0) mas nunca toca o eixo – isso é chamado de assíntota horizontal.
Passo 4
Para esboçar o gráfico completo de
, vamos juntar as duas partes:
- Para
, desenhamos a curva de , começando de (1, 0) e subindo lentamente à medida que aumenta, com uma assíntota vertical em . - Para
, desenhamos a curva de , começando de (0, 1) e descendo rapidamente conforme fica mais negativo, com uma assíntota horizontal em .
Passo 5
Vamos identificar pontos chave para ajudar no esboço:
- Ponto de transição em
: . - Ponto (1, 0) para
. - Assíntotas:
para e para .
Passo 6
Agora, juntando tudo:
- A parte
começa no ponto (0, 1) e desce suavemente em direção ao eixo à medida que fica mais negativo. - A parte
começa no ponto (1, 0) e sobe lentamente para a direita, com a curva se aproximando, mas nunca tocando, o eixo .
Resposta
O gráfico da função
é composto pela função exponencial
para
, iniciando em (0, 1) e descendo em direção ao eixo
, e pela função logarítmica
para
, iniciando em (1, 0) e subindo lentamente para a direita. As assíntotas são
para
e
para
.