Dê um exemplo de uma função g de modo que em dois pontos distintos x = a e x = b a função g tem sinais contrários, g não é contínua no intervalo [a, b] e g não possui raiz no intervalo [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função que, em dois pontos diferentes e , a função tenha sinais contrários (ou seja, um positivo e outro negativo). Além disso, não deve ser contínua no intervalo e não pode ter nenhuma raiz nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, sinais das funções e raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um intervalo. Uma função é contínua no intervalo se não houver “saltos” ou “buracos” no gráfico dessa função entre esses pontos. Se a função não for contínua, significa que tem pelo menos um ponto onde dá um “salto”.

Passo 3

Agora, sobre os sinais da função. Se e têm sinais contrários, isso significa que se é positivo, é negativo, ou vice-versa. Normalmente, se uma função é contínua nesse intervalo e muda de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário, ela deve ter pelo menos uma raiz (ou seja, algum em onde ).

Passo 4

O enunciado, porém, diz que não deve ter nenhuma raiz no intervalo . Isso só é possível se a função não for contínua nesse intervalo. Ou seja, precisamos criar uma função que tenha um “salto” que impede que a função cruze o eixo .

Passo 5

Vamos construir um exemplo simples. Vamos definir da seguinte forma:

Passo 6

Vamos analisar essa função:
  • Em , (positivo).
  • Em , (negativo).
  • Para todos os outros entre e , . Mas, para garantir que não tenha raiz no intervalo, precisamos ajustar isso.

Passo 7

Vamos ajustar a função para evitar que em qualquer ponto entre e . Podemos fazer isso definindo:

Passo 8

Agora, analisando:
  • (positivo).
  • (negativo).
  • Para todo em , (positivo).
A função tem um “salto” de 2 para -1 em , não é contínua no intervalo e, apesar de mudar de sinal, não cruza o eixo , ou seja, não possui raiz no intervalo.

Resposta

Um exemplo de função que atende às condições é:

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