Dê um exemplo de uma função de modo que em dois pontos distintos e a função tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e não possui raiz no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função que, em dois pontos diferentes e , a função tenha sinais contrários (ou seja, um positivo e outro negativo). Além disso, não deve ser contínua no intervalo e não pode ter nenhuma raiz nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, sinais das funções e raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um intervalo. Uma função é contínua no intervalo se não houver “saltos” ou “buracos” no gráfico dessa função entre esses pontos. Se a função não for contínua, significa que tem pelo menos um ponto onde dá um “salto”.
Passo 3
Agora, sobre os sinais da função. Se e têm sinais contrários, isso significa que se é positivo, é negativo, ou vice-versa. Normalmente, se uma função é contínua nesse intervalo e muda de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário, ela deve ter pelo menos uma raiz (ou seja, algum em onde ).
Passo 4
O enunciado, porém, diz que não deve ter nenhuma raiz no intervalo . Isso só é possível se a função não for contínua nesse intervalo. Ou seja, precisamos criar uma função que tenha um “salto” que impede que a função cruze o eixo .
Passo 5
Vamos construir um exemplo simples. Vamos definir da seguinte forma:
Passo 6
Vamos analisar essa função:
Em , (positivo).
Em , (negativo).
Para todos os outros entre e , . Mas, para garantir que não tenha raiz no intervalo, precisamos ajustar isso.
Passo 7
Vamos ajustar a função para evitar que em qualquer ponto entre e . Podemos fazer isso definindo:
Passo 8
Agora, analisando:
(positivo).
(negativo).
Para todo em , (positivo).
A função tem um “salto” de 2 para -1 em , não é contínua no intervalo e, apesar de mudar de sinal, não cruza o eixo , ou seja, não possui raiz no intervalo.