Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função definida por:
Vamos focar no conceito de continuidade, que basicamente verifica se o gráfico da função é “sem quebras” no seu domínio. Para isso, precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do domínio, especialmente onde ela é definida de forma diferente (neste caso, em ).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função para todos os diferentes de zero. A função é composta por funções contínuas: o seno e a divisão por (desde que ). Portanto, para , é contínua.

Passo 3

Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Segundo a definição de continuidade, é contínua em se:
Sabemos que . Vamos calcular o limite de quando se aproxima de zero:
Podemos simplificar esse limite usando uma identidade fundamental dos limites:
é
Neste caso, , então:

Passo 4

Comparando o limite com o valor da função em :
Isso significa que a função não tem “quebra” em e, portanto, é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

Exercícios relacionados

Considere para . Esboce o gráfico de
Calcule os seguintes limites:
Calcule:
Encontre os pontos onde é descontínua e de razões para esta descontinuidade: