Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade da função
definida por:
Vamos focar no conceito de continuidade, que basicamente verifica se o gráfico da função é “sem quebras” no seu domínio. Para isso, precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do domínio, especialmente onde ela é definida de forma diferente (neste caso, em
).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função para todos os
diferentes de zero. A função
é composta por funções contínuas: o seno e a divisão por
(desde que
). Portanto, para
,
é contínua.
Passo 3
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Segundo a definição de continuidade,
é contínua em
se:
Sabemos que
. Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de zero:
Podemos simplificar esse limite usando uma identidade fundamental dos limites:
Neste caso,
, então:
Passo 4
Comparando o limite com o valor da função em
:
Isso significa que a função não tem “quebra” em
e, portanto, é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Considere
para
. Esboce o gráfico de
Calcule os seguintes limites:
Calcule:
Encontre os pontos onde
é descontínua e de razões para esta descontinuidade: