Calcule os seguintes limites: lim x 0 sen(x)tg(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 sin(x)tan(5x). Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, mais especificamente usando as propriedades dos limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar que limx to 0 sin(x)x = 1 e que tan(x) = sin(x)cos(x).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de tangente:
tan(5x) = sin(5x)cos(5x)
Então, nosso limite fica:
lim x 0 sin(x)sin(5x)cos(5x) = lim x 0 sin(x) cdot cos(5x)sin(5x)

Passo 3

Agora, separamos os limites:
lim x 0 sin(x)sin(5x) cdot lim x 0 cos(5x)
Sabemos que lim x 0 cos(5x) = cos(0) = 1. Já para o outro limite, usamos a regra de limx to 0 sin(kx)kx = 1, então:
lim x 0 sin(x)sin(5x) = lim x 0 sin(x)x cdot x5x cdot 5 = 15

Resposta

O limite é 15.

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