Suponha que para todo . Mostre que é contínua no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que para todo número real , a diferença entre e é limitada por . Nosso objetivo é mostrar que a função é contínua no ponto .
Vamos precisar usar o conceito de continuidade e o limite de funções. Basicamente, queremos provar que quando se aproxima de 1, se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se:
No nosso caso, , então precisamos provar que:

Passo 3

Sabemos que:
Isso significa que a diferença entre e é menor ou igual a para todo .

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1. O termo tende a zero, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor. Ou seja:

Passo 5

Como é menor ou igual a , e tende a zero quando se aproxima de 1, podemos usar o Teorema do Limite Squeeze (ou Sanduíche). Esse teorema diz que se uma função está “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Limite Squeeze:
Isso implica que:

Passo 7

Se o valor absoluto da diferença tende a zero, isso significa que a diferença em si também tende a zero:
Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que a função é contínua no ponto .

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Encontre exemplos de funções tais que:
(a) é contínua em , mas e não são.
Se , então é contínua em ? Justifique sua resposta.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
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