Suponha que
para todo
. Mostre que
é contínua no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que para todo número real
, a diferença entre
e
é limitada por
. Nosso objetivo é mostrar que a função
é contínua no ponto
.
Vamos precisar usar o conceito de continuidade e o limite de funções. Basicamente, queremos provar que quando
se aproxima de 1,
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se:
No nosso caso,
, então precisamos provar que:
Passo 3
Sabemos que:
Isso significa que a diferença entre
e
é menor ou igual a
para todo
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. O termo
tende a zero, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor. Ou seja:
Passo 5
Como
é menor ou igual a
, e
tende a zero quando
se aproxima de 1, podemos usar o Teorema do Limite Squeeze (ou Sanduíche). Esse teorema diz que se uma função está “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Limite Squeeze:
Isso implica que:
Passo 7
Se o valor absoluto da diferença tende a zero, isso significa que a diferença em si também tende a zero:
Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que significa que a função
é contínua no ponto
.