Suponha que para todo . Mostre que é contínua no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que para todo número real , a diferença entre e é limitada por . Nosso objetivo é mostrar que a função é contínua no ponto .
Vamos precisar usar o conceito de continuidade e o limite de funções. Basicamente, queremos provar que quando se aproxima de 1, se aproxima de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se:
No nosso caso, , então precisamos provar que:
Passo 3
Sabemos que:
Isso significa que a diferença entre e é menor ou igual a para todo .
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1. O termo tende a zero, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor. Ou seja:
Passo 5
Como é menor ou igual a , e tende a zero quando se aproxima de 1, podemos usar o Teorema do Limite Squeeze (ou Sanduíche). Esse teorema diz que se uma função está “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Limite Squeeze:
Isso implica que:
Passo 7
Se o valor absoluto da diferença tende a zero, isso significa que a diferença em si também tende a zero:
Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que , o que significa que a função é contínua no ponto .