Encontre exemplos de funções tais que:
(a) é contínua em , mas e não são.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Queremos encontrar exemplos de duas funções, e , onde a soma delas, , é contínua em um ponto específico , mas individualmente, nenhuma das duas funções é contínua nesse mesmo ponto. Isso envolve conceitos de continuidade de funções e operações com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto:
Agora, queremos que seja contínua em , mas e individualmente não sejam.

Passo 3

Para que seja contínua, os “saltos” ou descontinuidades de e devem se cancelar. Ou seja, se tem um salto positivo em , deve ter um salto negativo de mesma magnitude, e vice-versa.

Passo 4

Vamos construir um exemplo simples. Escolha .
Definimos como:
E como:

Passo 5

Vamos verificar a continuidade de cada função em :
Para :
Como os limites laterais não são iguais, não é contínua em 0.
Para :
Também aqui, os limites laterais não são iguais, então não é contínua em 0.

Passo 6

Agora, vamos somar as duas funções:
Então, é a função constante 0 em todo o domínio.

Passo 7

Como uma função constante é sempre contínua, é contínua em .

Resposta

Um exemplo é definir para todo :
e
Assim, é contínua em , mas e individualmente não são contínuas nesse ponto.

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Se , então é contínua em ? Justifique sua resposta.
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