Encontre exemplos de funções tais que:
(a)
é contínua em
, mas
e
não são.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Queremos encontrar exemplos de duas funções,
e
, onde a soma delas,
, é contínua em um ponto específico
, mas individualmente, nenhuma das duas funções é contínua nesse mesmo ponto. Isso envolve conceitos de continuidade de funções e operações com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto
se o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto:
Agora, queremos que
seja contínua em
, mas
e
individualmente não sejam.
Passo 3
Para que
seja contínua, os “saltos” ou descontinuidades de
e
devem se cancelar. Ou seja, se
tem um salto positivo em
,
deve ter um salto negativo de mesma magnitude, e vice-versa.
Passo 4
Vamos construir um exemplo simples. Escolha
.
Definimos
como:
E
como:
Passo 5
Vamos verificar a continuidade de cada função em
:
Para
:
Como os limites laterais não são iguais,
não é contínua em 0.
Para
:
Também aqui, os limites laterais não são iguais, então
não é contínua em 0.
Passo 6
Agora, vamos somar as duas funções:
Então,
é a função constante 0 em todo o domínio.
Passo 7
Como uma função constante é sempre contínua,
é contínua em
.
Resposta
Um exemplo é definir para todo
:
e
Assim,
é contínua em
, mas
e
individualmente não são contínuas nesse ponto.
Exercícios relacionados
Se
, então
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Suponha que
para todo
. Mostre que
é contínua no ponto
.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.