Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa analisar se a função
é contínua no seu domínio. A função é definida por partes:
Vamos precisar saber sobre continuidade de funções e verificar os pontos onde a função pode ter problemas de continuidade, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando a gente se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisa valer:
Passo 3
Vamos verificar a continuidade para
. A função
é composta por funções trigonométricas e operações básicas, que são contínuas em todo lugar. Portanto, para qualquer
,
é contínua.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e comparar com
.
Primeiro, calculamos o limite:
Sabemos que
.
Passo 5
Agora, comparamos esse limite com o valor da função em 0:
Como
é diferente de
, a função não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua para todo
exceto em
.
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A função
é contínua em
? Justifique.
Encontre a derivada da função
Calcule a integral definida: