Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa analisar se a função é contínua no seu domínio. A função é definida por partes:
Vamos precisar saber sobre continuidade de funções e verificar os pontos onde a função pode ter problemas de continuidade, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando a gente se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em , precisa valer:

Passo 3

Vamos verificar a continuidade para . A função é composta por funções trigonométricas e operações básicas, que são contínuas em todo lugar. Portanto, para qualquer , é contínua.

Passo 4

Agora, o ponto crítico é . Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 e comparar com .
Primeiro, calculamos o limite:
Sabemos que .

Passo 5

Agora, comparamos esse limite com o valor da função em 0:
Como é diferente de , a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua para todo exceto em .

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A função é contínua em ? Justifique.
Encontre a derivada da função
Calcule a integral definida: