Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função dada no enunciado. A função é uma função por partes, ou seja, tem definições diferentes para certos valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e verificar se a função está contínua em todo o seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dada:
Vamos analisar a continuidade em , já que para , a função é definida de forma diferente.

Passo 4

Primeiro, verificamos se está definida. Pelo enunciado, , então a primeira condição de continuidade está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2:
Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função perto de .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que para , então perto de (que é positivo), temos:
Portanto, para próximo de 2, a expressão se simplifica para 1.

Passo 7

Assim, o limite quando se aproxima de 2 é:
Isso nos mostra que a segunda condição de continuidade também está satisfeita, já que o limite existe e é igual a .

Passo 8

Finalmente, precisamos verificar se a função está contínua em todo o seu domínio. A única descontinuidade possível era em , que já mostramos ser contínua. Para outros valores de , a função é uma fração de polinômios onde o denominador não é zero (exceto em , que já tratamos).

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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