Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade da função dada no enunciado. A função é uma função por partes, ou seja, tem definições diferentes para certos valores de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e verificar se a função está contínua em todo o seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dada:
Vamos analisar a continuidade em
, já que para
, a função é definida de forma diferente.
Passo 4
Primeiro, verificamos se
está definida. Pelo enunciado,
, então a primeira condição de continuidade está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função perto de
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
para
, então perto de
(que é positivo), temos:
Portanto, para
próximo de 2, a expressão se simplifica para 1.
Passo 7
Assim, o limite quando
se aproxima de 2 é:
Isso nos mostra que a segunda condição de continuidade também está satisfeita, já que o limite existe e é igual a
.
Passo 8
Finalmente, precisamos verificar se a função está contínua em todo o seu domínio. A única descontinuidade possível era em
, que já mostramos ser contínua. Para outros valores de
, a função é uma fração de polinômios onde o denominador
não é zero (exceto em
, que já tratamos).
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.
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é contínua em
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