Calcule a integral definida:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso significa que vamos encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de antiderivadas e as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função polinomial, a gente integra cada termo separadamente. A regra que vamos usar é: , onde é um número real diferente de -1.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra a cada termo da função:
  1. Integrando :
  2. Integrando :
  3. Integrando :

Passo 4

Agora, juntando tudo, a antiderivada da função é:
Essa função é a antiderivada que vamos usar para calcular a integral definida.

Passo 5

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para encontrar a integral definida de 0 a 1, vamos avaliar nos limites superior e inferior e subtrair:
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando :
  2. Calculando :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
Para facilitar, vamos converter tudo para frações com denominador 6:
Substituindo:
Então:

Resposta

A integral definida vale .

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