Calcule a integral definida:
integral0^1(2 x^3-5 x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso significa que vamos encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de antiderivadas e as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função polinomial, a gente integra cada termo separadamente. A regra que vamos usar é: , onde é um número real diferente de -1.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra a cada termo da função:
  1. Integrando integral 2x^3 dx = 2 cdot x^44 = x^42 :
    integral -5x^2 dx = -5 cdot x^33 = -5x^33
  2. Integrando integral 4 dx = 4x :
  3. Integrando :

Passo 4

Agora, juntando tudo, a antiderivada da função é:
F(x) = x^42 - 5x^33 + 4x
Essa função é a antiderivada que vamos usar para calcular a integral definida.

Passo 5

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para encontrar a integral definida de 0 a 1, vamos avaliar integral0^1(2x^3 - 5x^2 + 4) dx = F(1) - F(0) nos limites superior e inferior e subtrair:
F(1) = 1^42 - 5 cdot 1^33 + 4 cdot 1 = 12 - 53 + 4
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando F(0) = 0^42 - 5 cdot 0^33 + 4 cdot 0 = 0 - 0 + 0 = 0 :
  2. Calculando :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
F(1) = 12 - 53 + 4
Para facilitar, vamos converter tudo para frações com denominador 6:
12 = 36, 53 = 106, 4 = 246
Substituindo:
F(1) = 36 - 106 + 246 = 176
Então:
integral0^1(2x^3 - 5x^2 + 4) dx = 176 - 0 = 176

Resposta

A integral definida vale .

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