A função f(x) = { 2x, se x <= 1; 1, se x > 1 } é contínua em x0 = 1 ? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função em :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, aproxima-se de 1 um pouquinho menor que 1:

Passo 4

Em seguida, calculamos o limite da função quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, aproxima-se de 1 um pouquinho maior que 1:

Passo 5

Agora, comparamos os limites laterais com o valor da função:
  • Limite pela esquerda: 2
  • Limite pela direita: 1
  • Valor da função em 1: 2
Para a função ser contínua em 1, os dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função. Aqui, os limites laterais não são iguais (2 ≠ 1), então já sabemos que a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais existem, mas não são iguais entre si nem ao valor da função nesse ponto.

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