Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre continuidade de funções. A função que a gente vai analisar é definida de dois jeitos diferentes: uma expressão para todo mundo, menos quando , e outro valor específico quando . Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar o comportamento dela perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “pulos” ou “quebras” no gráfico da função ali.

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa função. Para , a função é . Sabemos que a função seno é contínua em todos os lugares, então também é contínua para todo . O ponto crítico é em , onde a função é definida como .

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Ou seja:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, comparamos o limite que achamos com o valor da função em :
Como , o limite não é igual ao valor da função em .

Passo 6

Isso significa que a função tem uma descontinuidade em . Fora esse ponto, como vimos no Passo 3, a função é contínua porque é formada por uma função contínua.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto em , onde apresenta uma descontinuidade.

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