Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre continuidade de funções. A função que a gente vai analisar é definida de dois jeitos diferentes: uma expressão para todo mundo, menos quando
, e outro valor específico quando
. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar o comportamento dela perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “pulos” ou “quebras” no gráfico da função ali.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa função. Para
, a função é
. Sabemos que a função seno é contínua em todos os lugares, então
também é contínua para todo
. O ponto crítico é em
, onde a função é definida como
.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Ou seja:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, comparamos o limite que achamos com o valor da função em
:
Como
, o limite não é igual ao valor da função em
.
Passo 6
Isso significa que a função tem uma descontinuidade em
. Fora esse ponto, como vimos no Passo 3, a função é contínua porque é formada por uma função contínua.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio, exceto em
, onde apresenta uma descontinuidade.
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Derive as seguintes funções usando as regras de derivação