Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade dessa função aí. Primeiro, entenda que continuidade é como se a gente pudesse desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel. Para que uma função seja contínua num ponto, ela precisa atender a três condições:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando a gente se aproxima desse ponto pelo lado esquerdo e pelo lado direito existe.
  3. O valor da função nesse ponto é igual a esse limite.
No nosso caso, a função é definida por duas expressões diferentes dependendo de . Vamos precisar verificar a continuidade em todo o domínio dela, prestando atenção especial nos pontos onde a definição muda.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Olhando para a função:
A parte só é válida quando o denominador não é zero. Vamos achar quando isso acontece:
Mas na definição da função, já temos . Portanto, além de , precisamos também excluir . Então, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função em todo o seu domínio. Para e , a função é dada por , que é uma função racional. Funções racionais são contínuas onde estão definidas, ou seja, exceto em e , mas no nosso domínio já excluímos .
Portanto, a única coisa que precisamos verificar é a continuidade em .

Passo 4

Para verificar a continuidade em , vamos conferir as três condições que mencionei no Passo 1:
  1. A função está definida em : Sim, .
  2. O limite da função quando se aproxima de 2 existe:
    • Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2: Como está se aproximando de 2, está próximo de 2, então (pois 2 é positivo).
  3. O valor da função em é igual ao limite: e , então são iguais.
Como todas as três condições estão satisfeitas, a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio .

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