Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade dessa função aí. Primeiro, entenda que continuidade é como se a gente pudesse desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel. Para que uma função seja contínua num ponto, ela precisa atender a três condições:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando a gente se aproxima desse ponto pelo lado esquerdo e pelo lado direito existe.
- O valor da função nesse ponto é igual a esse limite.
No nosso caso, a função é definida por duas expressões diferentes dependendo de
. Vamos precisar verificar a continuidade em todo o domínio dela, prestando atenção especial nos pontos onde a definição muda.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Olhando para a função:
A parte
só é válida quando o denominador
não é zero. Vamos achar quando isso acontece:
Mas na definição da função, já temos
. Portanto, além de
, precisamos também excluir
. Então, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade da função em todo o seu domínio. Para
e
, a função é dada por
, que é uma função racional. Funções racionais são contínuas onde estão definidas, ou seja, exceto em
e
, mas no nosso domínio já excluímos
.
Portanto, a única coisa que precisamos verificar é a continuidade em
.
Passo 4
Para verificar a continuidade em
, vamos conferir as três condições que mencionei no Passo 1:
- A função está definida em
: Sim, . - O limite da função quando
se aproxima de 2 existe: - Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2: Como está se aproximando de 2, está próximo de 2, então (pois 2 é positivo).
- Vamos calcular o limite quando
- O valor da função em
é igual ao limite: e , então são iguais.
Como todas as três condições estão satisfeitas, a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio
.
Exercícios relacionados
Sejam
funções contínuas em
tais que
. Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em
não é contínua em
, mas
é contínua em
.
©
Se
, então
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Encontre exemplos de funções tais que:
(a) é contínua em
, mas
e
não são.
(a)