Sejam
funções contínuas em
tais que
. Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o problema pede. Temos duas funções contínuas,
e
, que são iguais no ponto
(ou seja,
). A função
é definida de forma que ela usa
para
e
para
. Nossa missão é verificar se
é contínua em todo o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função mantém essa propriedade ao ser piecada.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. Mais formalmente,
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
A função
é definida de duas maneiras diferentes, dependendo de
ser menor ou igual a 3, ou maior que 3. Então, para verificar a continuidade de
em todo
, precisamos garantir que não há quebra na junção dessas duas partes, especialmente no ponto
.
Passo 4
Sabemos que tanto
quanto
são contínuas em
. Isso significa que para qualquer ponto
em
,
e
.
Passo 5
O ponto crítico aqui é
, onde a definição de
muda de
para
. Precisamos verificar se
é contínua em
.
Passo 6
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
) e pela direita (
):
- Quando
, usamos , então . - Quando
, usamos , então .
Passo 7
Como o enunciado nos diz que
, os limites pela esquerda e pela direita são iguais. Além disso,
(pela definição de
para
).
Passo 8
Então, temos que:
Isso mostra que
é contínua em
.
Passo 9
Nos outros pontos onde
,
é simplesmente igual a
ou
, ambas contínuas por hipótese. Portanto, não há problemas de continuidade nesses pontos.
Resposta
A função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em
não é contínua em
, mas
é contínua em
.
©
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Se
, então
é contínua em
? Justifique sua resposta.