Sejam f, g: R -> R funções contínuas em R tais que f(3) = g(3). Verifique se a função h(x) = { f(x) se x <= 3, g(x) se x > 3 } é contínua em R. Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o problema pede. Temos duas funções contínuas, e , que são iguais no ponto (ou seja, ). A função é definida de forma que ela usa para e para . Nossa missão é verificar se é contínua em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função mantém essa propriedade ao ser piecada.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. Mais formalmente, . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

A função é definida de duas maneiras diferentes, dependendo de ser menor ou igual a 3, ou maior que 3. Então, para verificar a continuidade de em todo , precisamos garantir que não há quebra na junção dessas duas partes, especialmente no ponto .

Passo 4

Sabemos que tanto quanto são contínuas em . Isso significa que para qualquer ponto em , e .

Passo 5

O ponto crítico aqui é , onde a definição de muda de para . Precisamos verificar se é contínua em .

Passo 6

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
  • Quando , usamos , então .
  • Quando , usamos , então .

Passo 7

Como o enunciado nos diz que , os limites pela esquerda e pela direita são iguais. Além disso, (pela definição de para ).

Passo 8

Então, temos que:
Isso mostra que é contínua em .

Passo 9

Nos outros pontos onde , é simplesmente igual a ou , ambas contínuas por hipótese. Portanto, não há problemas de continuidade nesses pontos.

Resposta

A função é contínua em .

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