Se
, então
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função
é contínua em
. A matéria envolvida aqui é o conceito de continuidade de funções, que a gente aprende em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar verificar os limites laterais da função quando
se aproxima de 3 e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se três coisas acontecerem:
- A função está definida em
. - O limite da função existe quando
se aproxima de . - O limite da função é igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos verificar se a função
está definida em
. Olhando a definição de
, vemos que
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 3. A função é dada por:
Para
, a expressão
pode ser simplificada dependendo se
está acima ou abaixo de 3.
Passo 5
Se
, então
. Então:
Portanto, o limite pela direita (quando
se aproxima de 3 vindo de valores maiores que 3) é 1.
Passo 6
Se
, então
. Então:
Portanto, o limite pela esquerda (quando
se aproxima de 3 vindo de valores menores que 3) é -1.
Passo 7
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (
e
respectivamente), o limite geral de
quando
se aproxima de 3 não existe.
Passo 8
Finalmente, para a função ser contínua em
, o limite de
deve existir e ser igual a
. Mas como o limite não existe, a função não é contínua em
.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
, pois o limite quando
se aproxima de 3 não existe.
Exercícios relacionados
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Sejam
funções contínuas em
tais que
. Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Encontre exemplos de funções tais que:
(a) é contínua em
, mas
e
não são.
(a)
Suponha que
para todo
. Mostre que
é contínua no ponto
.