Se , então é contínua em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função é contínua em . A matéria envolvida aqui é o conceito de continuidade de funções, que a gente aprende em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar verificar os limites laterais da função quando se aproxima de 3 e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três coisas acontecerem:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função existe quando se aproxima de .
  3. O limite da função é igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos verificar se a função está definida em . Olhando a definição de , vemos que . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3. A função é dada por:
Para , a expressão pode ser simplificada dependendo se está acima ou abaixo de 3.

Passo 5

Se , então . Então:
Portanto, o limite pela direita (quando se aproxima de 3 vindo de valores maiores que 3) é 1.

Passo 6

Se , então . Então:
Portanto, o limite pela esquerda (quando se aproxima de 3 vindo de valores menores que 3) é -1.

Passo 7

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( e respectivamente), o limite geral de quando se aproxima de 3 não existe.

Passo 8

Finalmente, para a função ser contínua em , o limite de deve existir e ser igual a . Mas como o limite não existe, a função não é contínua em .

Resposta

Não, a função não é contínua em , pois o limite quando se aproxima de 3 não existe.

Exercícios relacionados

Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Sejam funções contínuas em tais que . Verifique se a função é contínua em . Justifique sua resposta.
Encontre exemplos de funções tais que:
(a) é contínua em , mas e não são.
Suponha que para todo . Mostre que é contínua no ponto .