Encontre exemplos de funções tais que:
©
é contínua em
não é contínua em
, mas
é contínua em
.
©
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar funções
e
que satisfaçam três condições:
-
é contínua em , -
não é contínua em , - A composição
é contínua em .
Para resolver isso, vamos revisar o conceito de continuidade e como a composição de funções pode influenciar a continuidade.
Passo 2
Primeiro, continuidade: uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico naquele ponto. Formalmente,
é contínua em
se
Isso significa que o limite da função quando nos aproximamos de
é igual ao valor da função em
.
Passo 3
Agora, queremos que
não seja contínua em
. Isso significa que pelo menos um desses critérios não é satisfeito:
- O limite de
quando se aproxima de não existe, - O limite existe, mas é diferente de
.
Passo 4
Porém, a composição
deve ser contínua em
. Isso significa que mesmo com
tendo uma descontinuidade em
, a função
“corrige” essa falha de maneira que a composição fique contínua.
Passo 5
Para isso acontecer, uma estratégia é escolher
de forma que, independentemente dos valores que
toma perto de
, a função
mapeie esses valores para algo que não cause descontinuidade na composição. Uma maneira simples de fazer isso é usando funções constantes.
Passo 6
Vamos construir um exemplo:
- Definimos
como uma função que tem uma descontinuidade em . Por exemplo:
Essa função salta de 0 para 1 em
, portanto, não é contínua nesse ponto.
- Agora, definimos
como uma função constante, por exemplo:
Funções constantes são contínuas em todo lugar porque seu valor não muda, então
é contínua em
.
- A composição
será:
Isso significa que
é uma função constante e, portanto, contínua em
.
Resposta
Um exemplo que atende aos requisitos é:
Aqui,
é contínua em
,
não é contínua em
, e a composição
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Seja
uma função definida em
e suponha que exista
tal que
para todo
. Prove, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
. Exiba outra maneira de mostrar este resultado.
Sejam
funções contínuas em
tais que
. Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.