Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em não é contínua em , mas é contínua em .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar funções e que satisfaçam três condições:
  1. é contínua em ,
  2. não é contínua em ,
  3. A composição é contínua em .
Para resolver isso, vamos revisar o conceito de continuidade e como a composição de funções pode influenciar a continuidade.

Passo 2

Primeiro, continuidade: uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico naquele ponto. Formalmente, é contínua em se
Isso significa que o limite da função quando nos aproximamos de é igual ao valor da função em .

Passo 3

Agora, queremos que não seja contínua em . Isso significa que pelo menos um desses critérios não é satisfeito:
  • O limite de quando se aproxima de não existe,
  • O limite existe, mas é diferente de .

Passo 4

Porém, a composição deve ser contínua em . Isso significa que mesmo com tendo uma descontinuidade em , a função “corrige” essa falha de maneira que a composição fique contínua.

Passo 5

Para isso acontecer, uma estratégia é escolher de forma que, independentemente dos valores que toma perto de , a função mapeie esses valores para algo que não cause descontinuidade na composição. Uma maneira simples de fazer isso é usando funções constantes.

Passo 6

Vamos construir um exemplo:
  • Definimos como uma função que tem uma descontinuidade em . Por exemplo:
Essa função salta de 0 para 1 em , portanto, não é contínua nesse ponto.
  • Agora, definimos como uma função constante, por exemplo:
Funções constantes são contínuas em todo lugar porque seu valor não muda, então é contínua em .
  • A composição será:
Isso significa que é uma função constante e, portanto, contínua em .

Resposta

Um exemplo que atende aos requisitos é:
Aqui, é contínua em , não é contínua em , e a composição é contínua em .

Exercícios relacionados

Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
Seja uma função definida em e suponha que exista tal que para todo . Prove, usando a definição de função contínua, que é contínua em . Exiba outra maneira de mostrar este resultado.
Sejam funções contínuas em tais que . Verifique se a função é contínua em . Justifique sua resposta.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.