Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função . Aqui, o [x] representa a parte inteira de x, ou seja, o maior inteiro menor ou igual a x. Vamos precisar entender o que é continuidade, como a parte inteira afeta a função e os pontos onde a função pode não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos”, “buracos” ou “assimetrias” naquele ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando x se aproxima de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, observemos a função . O termo representa a parte fracionária de x, que varia de 0 (inclusive) até 1 (não incluindo 1). Por exemplo, se x = 2.3, então e .

Passo 4

Vamos analisar o domínio da função. O denominador é , então x não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Portanto, o domínio de f(x) é todos os números reais exceto x = 0.

Passo 5

Agora, vamos identificar onde a função pode ter descontinuidades. A parte causa saltos na função quando x é um número inteiro, porque a parte fracionária de x “reseta” para zero. Além disso, x = 0 já está excluído do domínio.

Passo 6

Vamos verificar a continuidade em números inteiros diferentes de zero. Se x se aproxima de um inteiro pela esquerda (valores menores que n), a parte fracionária se aproxima de 1, então se aproxima de 1. Se x se aproxima de n pela direita, se aproxima de 0. Como os limites laterais são diferentes, a função tem um salto em x = n, o que significa que f(x) não é contínua nesses pontos.

Passo 7

Finalmente, para valores de x que não são inteiros e diferentes de zero, a função não apresenta saltos ou buracos, pois tanto a parte inteira quanto a parte fracionária são contínuas nesses intervalos.

Resposta

A função é contínua para todos os números reais exceto nos inteiros e em x = 0. Portanto, f(x) não é contínua nos pontos inteiros e em x = 0.

Exercícios relacionados

Seja definida em . Suponha que . Calcule:
Determine as constantes de modo que a função seja contínua em .
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em
Calcule:
.