Calcule:
lim x 0 sin (cos (pi2-3 x)x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Nosso objetivo aqui é entender como calcular limites que envolvem funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Temos cos(pi2 - 3x) = sin(3x) . Sabemos que . Então, aplicando essa identidade:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação de volta na expressão original do limite:
limx 0 sin( sin(3x)x )

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com limx 0 sin(3x)x = 3 quando se aproxima de 0. Sabemos que , onde é uma constante. Nesse caso, , então:

Passo 5

Substituindo esse resultado na nossa expressão original do limite, temos:
limx 0 sin( sin(3x)x ) = sin(3)

Resposta

sin(3)

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