Determine as constantes de modo que a função seja contínua em .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em pedaços diferentes e precisamos encontrar os valores das constantes e para que essa função seja contínua em todos os números reais. Isso significa que não pode haver “saltos” na função quando mudamos de um pedaço para outro.
Passo 2
A função está definida assim:
Para garantir a continuidade, precisamos que o valor da função à direita de seja igual ao valor à esquerda de , e o mesmo vale para .
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em .
À esquerda de 2 ():
À direita de 2 ():
Para ser contínua, esses valores precisam ser iguais:
çã
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em .
À esquerda de 5 ():
À direita de 5 ():
Igualando os dois lados:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 6
Agora que encontramos , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :
Resposta
As constantes que garantem a continuidade da função são e .