Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em . em
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de que faz com que essa função seja contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que não pode ter “quebras” na função naquele ponto.
Passo 2
Para a função ser contínua em , três condições precisam ser satisfeitas:
Existir o limite pela esquerda:
Existir o limite pela direita:
O limite ser igual ao valor da função no ponto:
Vamos calcular cada um desses limites.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Isso porque, para valores de menores que 1, a função é simplesmente , e o limite de quando se aproxima de 1 é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ():
Aqui, para valores de maiores que 1, a função é . Quando se aproxima de 1, também se aproxima de 1.
Passo 5
Para que a função seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função no ponto: