Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de que faz com que essa função seja contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que não pode ter “quebras” na função naquele ponto.

Passo 2

Para a função ser contínua em , três condições precisam ser satisfeitas:
  1. Existir o limite pela esquerda:
  2. Existir o limite pela direita:
  3. O limite ser igual ao valor da função no ponto:
Vamos calcular cada um desses limites.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Isso porque, para valores de menores que 1, a função é simplesmente , e o limite de quando se aproxima de 1 é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Aqui, para valores de maiores que 1, a função é . Quando se aproxima de 1, também se aproxima de 1.

Passo 5

Para que a função seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função no ponto:

Resposta

O valor de para que a função seja contínua em é .

Exercícios relacionados

Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Seja definida em . Suponha que . Calcule:
Calcule:
.
Prove que .