Analise a continuidade das seguintes funções:
(k) f(x) = arctg((cos(x) + sen(x)) / (x^4 + x^2 + 1))

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede: analisar se a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, propriedades das funções trigonométricas e da função arctangente, além de verificar se a expressão dentro da arctg está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte interna da função arctg, que é a fração . Precisamos garantir que essa fração esteja sempre bem definida, ou seja, que o denominador nunca seja zero.

Passo 3

Olha só o denominador: . Vamos ver se ele pode ser igual a zero para algum valor de . Como e são sempre não negativos (já que potenciais pares de números reais são positivos ou zero), a soma sempre será pelo menos 1. Portanto, o denominador nunca é zero, e a fração está bem definida para todo .

Passo 4

Agora que sabemos que a fração está bem definida, vamos verificar a continuidade dela. Tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em todo . Como a divisão de duas funções contínuas, onde o denominador nunca é zero, também é contínua, a fração é contínua para todo .

Passo 5

Finalmente, consideramos a função arctangente, . Sabemos que a arctg é contínua para todo valor real de . Já que a expressão dentro da arctg é contínua para todo , a composição também será contínua para todo .

Resposta

A função é contínua para todo .

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