Analise a continuidade das seguintes funções:
(k)
(k)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede: analisar se a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, propriedades das funções trigonométricas e da função arctangente, além de verificar se a expressão dentro da arctg está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte interna da função arctg, que é a fração . Precisamos garantir que essa fração esteja sempre bem definida, ou seja, que o denominador nunca seja zero.
Passo 3
Olha só o denominador:
. Vamos ver se ele pode ser igual a zero para algum valor de
. Como
e
são sempre não negativos (já que potenciais pares de números reais são positivos ou zero), a soma
sempre será pelo menos 1. Portanto, o denominador nunca é zero, e a fração está bem definida para todo
.
Passo 4
Agora que sabemos que a fração está bem definida, vamos verificar a continuidade dela. Tanto o numerador quanto o denominador
são funções contínuas em todo
. Como a divisão de duas funções contínuas, onde o denominador nunca é zero, também é contínua, a fração é contínua para todo
.
Passo 5
Finalmente, consideramos a função arctangente, . Sabemos que a arctg é contínua para todo valor real de
. Já que a expressão dentro da arctg é contínua para todo
, a composição também será contínua para todo
.
Resposta
A função é contínua para todo
.