Calcule a integral tripla. , onde é a caixa retangular definida pelas desigualdades .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é uma caixa retangular definida por , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em várias variáveis usando integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral tripla pode ser dividida em integrais iteradas. Isso significa que vamos integrar a função em relação a uma variável de cada vez, dentro dos limites estabelecidos para cada uma.
Passo 3
Vamos escolher a ordem de integração: primeiro em , depois em e por último em . Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é:
Aqui, e são constantes em relação a , então podemos tirá-las da integral:
Passo 5
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando os limites de a :
Passo 6
Multiplicando pelo que tiramos da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica reduzida para duas variáveis:
Vamos integrar em relação a primeiro.
Passo 8
A integral em é:
Isso pode ser separada em duas integrais:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para 6pi ( sin(pi6) - sin(0) ) = 6pi ( 12 - 0 ) = 3pi , fazemos a substituição , então , ou . Assim:
Aplicando os limites de a :
Passo 10
Substituindo de volta:
x (1 - 3pi) = x ( pi - 3pi )
Passo 11
Agora, restou integrar em integral0^pi x ( pi - 3pi ) , dx = ( pi - 3pi ) integral0^pi x , dx :