Calcule a integral tripla.
integral triplaG x y sen y z d V, onde G é a caixa retangular definida pelas desigualdades 0 <= x <= pi, 0 <= y <= 1,0 <= z <= pi / 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é uma caixa retangular definida por , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em várias variáveis usando integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral tripla pode ser dividida em integrais iteradas. Isso significa que vamos integrar a função em relação a uma variável de cada vez, dentro dos limites estabelecidos para cada uma.

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração: primeiro em integral0^pi integral0^1 integral0^pi6 x y sin(yz) , dz , dy , dx , depois em e por último em . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^pi6 x y sin(yz) , dz . A integral interna é:
x y integral0^pi6 sin(yz) , dz
Aqui, e são constantes em relação a , então podemos tirá-las da integral:

Passo 5

Para integrar integral sin(yz) , dz = -1y cos(yz) + C em relação a -1y cos(y cdot pi6) + 1y cos(0) = -1y cos(ypi6) + 1y , fazemos uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Multiplicando pelo x y (-1y cos(ypi6) + 1y) = x (-cos(ypi6) + 1) que tiramos da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica reduzida para duas variáveis:
integral0^pi integral0^1 x (1 - cos(ypi6)) , dy , dx
Vamos integrar em relação a primeiro.

Passo 8

A integral em integral0^1 x (1 - cos(ypi6)) , dy = x integral0^1 (1 - cos(ypi6)) , dy é:
x ( integral0^1 1 , dy - integral0^1 cos(ypi6) , dy )
Isso pode ser separada em duas integrais:

Passo 9

Calculando cada parte:
  1. integral cos(u) cdot 6pi du = 6pi sin(u) + C
  2. Para 6pi ( sin(pi6) - sin(0) ) = 6pi ( 12 - 0 ) = 3pi , fazemos a substituição , então , ou . Assim:
Aplicando os limites de a :

Passo 10

Substituindo de volta:
x (1 - 3pi) = x ( pi - 3pi )

Passo 11

Agora, restou integrar em integral0^pi x ( pi - 3pi ) , dx = ( pi - 3pi ) integral0^pi x , dx :
( pi - 3pi ) ( pi^22 - 0 ) = ( pi - 3pi ) cdot pi^22 = (pi - 3)pi2
A integral é , então:

Resposta

A solução da integral tripla é .

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