a) Prove as propriedades básicas de limite: Se lim z z0 f(z)=F e lim z z0 g(z)=G, então lim z z0[f+ g](z)=F+G, lim z z0[f cdot g](z)=F cdot G e lim z z0(fg)(z)=FG se G neq 0.
b) Segue imediatamente do item anterior que: soma e o produto de funções contínuas são funções continuas; O quociente fg de duas funções contínuas f e g é contínuo num ponto z0 desde que g(z0) neq 0.
c) Seja g uma função cujo dominio contenha um ponto z0 e cuja imagem esteja contida no dominio de uma função f. Nestas condições, se g for continua em z0 e f contínua em g(z0), então a função composta f(g(z)) será contínua no ponto z0.
d) Suponha que f: D subset C C pode ser escrita na forma f(z)=u(x, y)+i cdot v(x, y), onde z=x+i y. Seja L=U+i V. Então
lim z z0 f(z)=L
se e somente se
lim z z0 u(x, y)=U e lim z z0 v(x, y)=V
Em particular, f(z)=u(x, y)+i cdot v(x, y) é contínua num ponto se e somente se suas partes real e imaginária são contínuas neste ponto.
e) Usando as propriedades do item b) e o item a) do exercício 4, se convença (nem é necessário fazer cálculos) que todo polinômio complexo é uma função contínua, bem como toda função racional (quociente de dois polinômios) também é contínua, exceto nos zeros do denominador. Usando o item c) por exemplo, podemos concluir que (z^5+2+2 iz+i)^1000 é contínua para todo z neq-i, concorda?

Passo 1

Beleza, vamos começar pelo item a). O que a gente precisa fazer aqui é provar algumas propriedades básicas de limites. A matéria envolvida é o cálculo de limites de funções, especificamente como os limites se comportam quando a gente soma, multiplica ou divide funções. Para isso, vamos precisar entender a definição de limite e como aplicar essas propriedades para chegar nas conclusões.

Passo 2

Agora, vamos para o item a). A gente tem duas funções, limz z0 f(z) = F e limz z0 g(z) = G e limz z0 [f + g](z) = limz z0 f(z) + limz z0 g(z) = F + G , e sabemos que:
limz z0 [f cdot g](z) = limz z0 f(z) cdot limz z0 g(z) = F cdot G
Queremos provar que:
  1. limz z0 (fg)(z) = limz z0 f(z)limz z0 g(z) = FG
  2. (desde que )
Primeira propriedade (Soma):
Vamos usar a definição de limite:
Isso mostra que o limite da soma é a soma dos limites.
Segunda propriedade (Produto):
Da mesma forma:
Então, o limite do produto é o produto dos limites.
Terceira propriedade (Quociente):
Aqui, precisamos que para evitar divisão por zero:
Assim, o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que não seja zero.

Passo 3

Vamos para o item b). A partir do que provamos no item a), podemos concluir que:
  • Soma de funções contínuas: Se e são contínuas em , então também é contínua em .
  • Produto de funções contínuas: Se e são contínuas em , então também é contínua em .
  • Quociente de funções contínuas: Se e são contínuas em e , então é contínua em .
Isso acontece porque as operações de soma, produto e quociente (com ) preservam a continuidade das funções envolvidas.

Passo 4

No item c), a gente fala sobre composição de funções. Vamos supor que temos uma função limz z0 f(g(z)) = f( limz z0 g(z) ) = f(g(z0)) que é contínua em e que sua imagem está no domínio de outra função , que também é contínua em . Queremos mostrar que a função composta é contínua em .
Como fazer isso:
  1. Como é contínua em , .
  2. Como é contínua em , .
  3. Portanto, substituindo , temos:
Assim, é contínua em .

Passo 5

Finalmente, no item d) e e), a gente analisa funções complexas e suas continuidades.
Item d): Se limz z0 f(z) = L = U + i V , onde limz z0 u(x, y) = U e limz z0 v(x, y) = V , então:
(z^5 + 2 + 2iz + i)^1000
Isso é verdadeiro se e somente se:
Ou seja, para que seja contínua em , tanto a parte real quanto a imaginária precisam ser contínuas em .
Item e): Usando o que vimos nos itens anteriores, podemos concluir que todo polinômio complexo é uma função contínua. Além disso, toda função racional (quociente de dois polinômios) é contínua, exceto nos pontos onde o denominador é zero.
Por exemplo, considerando a função:
Sabemos que polinômios são contínuos, e o quociente é contínuo onde o denominador não é zero, ou seja, para todo . Elevando isso a 1000, que também preserva a continuidade, concluímos que a função é contínua para todo .

Resposta

Provei as propriedades básicas de limite no item a), mostrei que soma e produto de funções contínuas são contínas no item b), expliquei a continuidade da composição de funções no item c), analisei a continuidade de funções complexas no item d) e, por fim, confirmei que polinômios e funções racionais são contínuas exceto nos pontos problemáticos no item e). Então, a função é contínua para todo .

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