a) Prove as propriedades básicas de limite: Se
e
, então
e
se
.
b) Segue imediatamente do item anterior que: soma e o produto de funções contínuas são funções continuas; O quociente
de duas funções contínuas
e
é contínuo num ponto
desde que
.
c) Seja
uma função cujo dominio contenha um ponto
e cuja imagem esteja contida no dominio de uma função
. Nestas condições, se
for continua em
e
contínua em
, então a função composta
será contínua no ponto
.
d) Suponha que
pode ser escrita na forma
, onde
. Seja
. Então
se e somente se
Em particular,
é contínua num ponto se e somente se suas partes real e imaginária são contínuas neste ponto.
e) Usando as propriedades do item b) e o item a) do exercício 4, se convença (nem é necessário fazer cálculos) que todo polinômio complexo é uma função contínua, bem como toda função racional (quociente de dois polinômios) também é contínua, exceto nos zeros do denominador. Usando o item c) por exemplo, podemos concluir que
é contínua para todo
, concorda?
b) Segue imediatamente do item anterior que: soma e o produto de funções contínuas são funções continuas; O quociente
c) Seja
d) Suponha que
e) Usando as propriedades do item b) e o item a) do exercício 4, se convença (nem é necessário fazer cálculos) que todo polinômio complexo é uma função contínua, bem como toda função racional (quociente de dois polinômios) também é contínua, exceto nos zeros do denominador. Usando o item c) por exemplo, podemos concluir que
Passo 1
Beleza, vamos começar pelo item a). O que a gente precisa fazer aqui é provar algumas propriedades básicas de limites. A matéria envolvida é o cálculo de limites de funções, especificamente como os limites se comportam quando a gente soma, multiplica ou divide funções. Para isso, vamos precisar entender a definição de limite e como aplicar essas propriedades para chegar nas conclusões.
Passo 2
Agora, vamos para o item a). A gente tem duas funções,
e
, e sabemos que:
Queremos provar que:
-
-
-
(desde que )
Primeira propriedade (Soma):
Vamos usar a definição de limite:
Isso mostra que o limite da soma é a soma dos limites.
Segunda propriedade (Produto):
Da mesma forma:
Então, o limite do produto é o produto dos limites.
Terceira propriedade (Quociente):
Aqui, precisamos que
para evitar divisão por zero:
Assim, o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que
não seja zero.
Passo 3
Vamos para o item b). A partir do que provamos no item a), podemos concluir que:
- Soma de funções contínuas: Se
e são contínuas em , então também é contínua em . - Produto de funções contínuas: Se
e são contínuas em , então também é contínua em . - Quociente de funções contínuas: Se
e são contínuas em e , então é contínua em .
Isso acontece porque as operações de soma, produto e quociente (com
) preservam a continuidade das funções envolvidas.
Passo 4
No item c), a gente fala sobre composição de funções. Vamos supor que temos uma função
que é contínua em
e que sua imagem
está no domínio de outra função
, que também é contínua em
. Queremos mostrar que a função composta
é contínua em
.
Como fazer isso:
- Como
é contínua em , . - Como
é contínua em , . - Portanto, substituindo
, temos:
Assim,
é contínua em
.
Passo 5
Finalmente, no item d) e e), a gente analisa funções complexas e suas continuidades.
Item d): Se
, onde
, então:
Isso é verdadeiro se e somente se:
Ou seja, para que
seja contínua em
, tanto a parte real
quanto a imaginária
precisam ser contínuas em
.
Item e): Usando o que vimos nos itens anteriores, podemos concluir que todo polinômio complexo é uma função contínua. Além disso, toda função racional (quociente de dois polinômios) é contínua, exceto nos pontos onde o denominador é zero.
Por exemplo, considerando a função:
Sabemos que polinômios são contínuos, e o quociente é contínuo onde o denominador não é zero, ou seja, para todo
. Elevando isso a 1000, que também preserva a continuidade, concluímos que a função é contínua para todo
.
Resposta
Provei as propriedades básicas de limite no item a), mostrei que soma e produto de funções contínuas são contínas no item b), expliquei a continuidade da composição de funções no item c), analisei a continuidade de funções complexas no item d) e, por fim, confirmei que polinômios e funções racionais são contínuas exceto nos pontos problemáticos no item e). Então, a função
é contínua para todo
.