Calcule f^prime(0)=lim h 0 f(0+h)-f(0)h em cada caso a seguir:
(a) f(x)=sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f^prime(0) = limh 0 f(0+h) - f(0)h no ponto usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, que trata de como as funções mudam. Para isso, vamos usar a fórmula do limite que define a derivada:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(0 + h) = sin(0 + h) = sin(h) na fórmula. Sabemos que f(0) = sin(0) = 0 , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na expressão da derivada:
f^prime(0) = limh 0 sin(h) - 0h = limh 0 sin(h)h

Passo 4

Para resolver esse limite, lembramos de um resultado importante do Cálculo:
limh 0 sin(h)h = 1
Isso significa que, conforme se aproxima de zero, a razão se aproxima de 1.

Resposta

Portanto, a derivada de f^prime(0) = 1 no ponto é:

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