Analise a continuidade das seguintes funções:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente analisar a continuidade da função
. Vamos usar o conteúdo de cálculo referente à continuidade de funções. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função arco-tangente atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, vamos observar a função
. Sabemos que a função tangente inversa está definida para todos os números reais, ou seja, o domínio de
é
. Isso significa que
está definida para qualquer valor de
que a gente escolher.
Passo 4
Além disso, a função
é contínua porque ela é diferenciável em todo o seu domínio. Se uma função é diferenciável em um ponto, ela também é contínua nesse ponto. Como
tem derivada para todo
real, isso garante que não há “quebras” ou “saltos” na função.
Passo 5
Outra maneira de ver isso é considerar os limites. Para qualquer número real
, o limite de
quando
se aproxima de
é exatamente
. Portanto, todas as três condições de continuidade são satisfeitas para qualquer
em
.
Resposta
A função
é contínua para todo
real, ou seja,
é contínua em
.