Analise a continuidade das seguintes funções:
(h) f(x) = arctg(x)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente analisar a continuidade da função . Vamos usar o conteúdo de cálculo referente à continuidade de funções. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função arco-tangente atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Agora, vamos observar a função . Sabemos que a função tangente inversa está definida para todos os números reais, ou seja, o domínio de é . Isso significa que está definida para qualquer valor de que a gente escolher.

Passo 4

Além disso, a função é contínua porque ela é diferenciável em todo o seu domínio. Se uma função é diferenciável em um ponto, ela também é contínua nesse ponto. Como tem derivada para todo real, isso garante que não há “quebras” ou “saltos” na função.

Passo 5

Outra maneira de ver isso é considerar os limites. Para qualquer número real , o limite de quando se aproxima de é exatamente . Portanto, todas as três condições de continuidade são satisfeitas para qualquer em .

Resposta

A função é contínua para todo real, ou seja, é contínua em .

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