Mostre via definição os limites indicados abaixo. Quais destas funções são contínuas no ponto indicado no limite?
a) lim z z0 a z=a z0, onde a, z0 in C
b) lim z i 4 z+iz+i=5 i1+i
c) lim z 2 i(z^2+3 z)=-4+6 i
d) lim z i z-iz^2+1=12 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos, usando a definição de limite, os limites indicados nos itens de a) a d). Além disso, temos que dizer quais dessas funções são contínuas no ponto indicado no limite. Para isso, vamos precisar entender o que é limite e continuidade para funções de variáveis complexas. Mas calma, vamos passo a passo!

Passo 2

Item a) lim z z0 a z = a cdot lim z z0 z = a z0 , onde

Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando se aproxima de , se aproxima de . Aqui, e são números complexos.
Aplicando a definição de limite: Para funções lineares como essa, a coisa fica mais simples. Sabemos que multiplicar por uma constante não complica a situação. Então, substituímos por :
Conclusão: O limite é realmente .
Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto é igual ao valor da função no ponto. Aqui, e . Como , a função é contínua em .

Passo 3

Item b) lim z i 4 z + iz + i = 4i + ii + i = 5i2i = 52

Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando se aproxima de (unidade imaginária), o limite da função é .
Aplicando a definição de limite: Para funções racionais, onde o denominador não se aproxima de zero, basta substituir por :
Observação: Parece que há uma discrepância entre o resultado esperado e o que calculamos . Isso pode ser um erro no enunciado ou na interpretação. De qualquer forma, seguindo os passos, o limite é .
Continuidade: A função é contínua em se o denominador não for zero nesse ponto. Mas, substituindo , temos . Portanto, a função é contínua em .

Passo 4

Item c) lim z 2i (z^2 + 3z) = (2i)^2 + 3(2i) = 4i^2 + 6i = 4(-1) + 6i = -4 + 6i

Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando se aproxima de , se aproxima de .
Aplicando a definição de limite: Para polinômios, que são funções contínuas, basta substituir por :
Conclusão: O limite é mesmo .
Continuidade: Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função contínua em todo o , a função é contínua em .

Passo 5

Item d) z^2 + 1 = (i)^2 + 1 = -1 + 1 = 0

Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando z^2 + 1 = (z - i)(z + i) se aproxima de z - i(z - i)(z + i) = 1z + i, z neq i , a função lim z i 1z + i = 1i + i = 12i se aproxima de .
Aplicando a definição de limite: Primeiro, verificamos se o denominador não se anula em :
Aqui, o denominador se anula, o que significa que precisamos analisar mais a fundo.
Simplificando a expressão: Vamos fatorar o denominador:
Então, a função se torna:
Agora, podemos calcular o limite:
Conclusão: O limite é de fato .
Continuidade: A função original não está definida em porque o denominador é zero. Portanto, não podemos afirmar que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

a) e a função é contínua em .
b) e a função é contínua em .
c) e a função é contínua em .
d) mas a função não é contínua em .

Exercícios relacionados