Mostre via definição os limites indicados abaixo. Quais destas funções são contínuas no ponto indicado no limite?
a)
, onde
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos, usando a definição de limite, os limites indicados nos itens de a) a d). Além disso, temos que dizer quais dessas funções são contínuas no ponto indicado no limite. Para isso, vamos precisar entender o que é limite e continuidade para funções de variáveis complexas. Mas calma, vamos passo a passo!
Passo 2
Item a)
, onde
Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Aqui,
e
são números complexos.
Aplicando a definição de limite: Para funções lineares como essa, a coisa fica mais simples. Sabemos que multiplicar por uma constante
não complica a situação. Então, substituímos
por
:
Conclusão: O limite é realmente
.
Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto é igual ao valor da função no ponto. Aqui,
e
. Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Item b)
Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando
se aproxima de
(unidade imaginária), o limite da função
é
.
Aplicando a definição de limite: Para funções racionais, onde o denominador não se aproxima de zero, basta substituir
por
:
Observação: Parece que há uma discrepância entre o resultado esperado
e o que calculamos
. Isso pode ser um erro no enunciado ou na interpretação. De qualquer forma, seguindo os passos, o limite é
.
Continuidade: A função
é contínua em
se o denominador não for zero nesse ponto. Mas, substituindo
, temos
. Portanto, a função é contínua em
.
Passo 4
Item c)
Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Aplicando a definição de limite: Para polinômios, que são funções contínuas, basta substituir
por
:
Conclusão: O limite é mesmo
.
Continuidade: Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função contínua em todo o
, a função
é contínua em
.
Passo 5
Item d)
Entendendo o que temos: Queremos mostrar que, quando
se aproxima de
, a função
se aproxima de
.
Aplicando a definição de limite: Primeiro, verificamos se o denominador não se anula em
:
Aqui, o denominador se anula, o que significa que precisamos analisar mais a fundo.
Simplificando a expressão: Vamos fatorar o denominador:
Então, a função se torna:
Agora, podemos calcular o limite:
Conclusão: O limite é de fato
.
Continuidade: A função original
não está definida em
porque o denominador é zero. Portanto, não podemos afirmar que a função é contínua nesse ponto.
Resposta
a)
e a função
é contínua em
.
b)
e a função
é contínua em
.
c)
e a função
é contínua em
.
d)
mas a função
não é contínua em
.