Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(e) lim x 0 sen(3 x) cdot(1-cos (7 x)) cdot t^2(x)x^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando lim x 0 sen(3x) cdot (1 - cos(7x)) cdot t^2(x)x^5 se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam quando está bem pequenininho, perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão no numerador separadamente para entender como elas se comportam próximo a sen(3x) approx 3x .
  1. :
    Sabemos que para valores pequenos de cos(7x) approx 1 - (7x)^22 , pode ser aproximado por 1 - cos(7x) approx (7x)^22 = 49x^22 . Então,
  2. tan(x) approx x para x próximo de 0 :
    Utilizando a expansão de Taylor para o cosseno, temos que para t^2(x) = tan^2(x) approx x^2 perto de 0:
    Portanto,
  3. :
    Aqui, vamos assumir que representa a função , então:
    ó
    Assim,

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Vamos simplificar o numerador:
sen(3x) cdot (1 - cos(7x)) cdot t^2(x)x^5 approx 3x cdot 49x^22 cdot x^2x^5
Então, a expressão fica:
3x cdot 49x^22 cdot x^2 = 3 cdot 492 cdot x cdot x^2 cdot x^2 = 1472 x^5

Passo 4

Como os 1472 = 73,5 no numerador e no denominador se cancelam, o limite é simplesmente o coeficiente restante:

Resposta

O limite é ou, em decimal, 73,5.

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