Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam quando
está bem pequenininho, perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão no numerador separadamente para entender como elas se comportam próximo a
.
-
:
Sabemos que para valores pequenos de, pode ser aproximado por . Então, -
:
Utilizando a expansão de Taylor para o cosseno, temos que paraperto de 0: Portanto, -
:
Aqui, vamos assumir querepresenta a função , então: Assim,
Passo 3
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Como os
no numerador e no denominador se cancelam, o limite é simplesmente o coeficiente restante:
Resposta
O limite é
ou, em decimal, 73,5.