Analise a continuidade das seguintes funções:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade da função
. A matéria que estamos usando aqui é o estudo de continuidade de funções, que envolve entender onde a função está definida e se não há quebras ou interrupções no seu gráfico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções trigonométricas, logarítmicas e da função arco-tangente, além de saber como identificar pontos onde a função pode não ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está bem definida. Olhando para o denominador
, precisamos garantir que ele não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos analisar quando o denominador é zero:
-
quando . -
quando .
Então, o denominador é zero apenas em
. Portanto, a função não está definida em
.
Passo 4
Agora, observamos o numerador
:
-
está definida para todos os , já que o seno está definido para todos os números reais. -
também está definida para todos os , porque é sempre positivo.
Portanto, o numerador está definido para todo
, mas o denominador não está definido em
.
Passo 5
Para verificar a continuidade, precisamos ver se a função pode ser estendida em
. Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Sabemos que:
-
quando é pequeno. -
quando é pequeno. -
quando é pequeno.
Substituindo essas aproximações:
Como o limite tende ao infinito, a função não pode ser estendida de forma contínua em
.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
reais, exceto em
, onde apresenta uma descontinuidade.