Analise a continuidade das seguintes funções:
(l) f(x) = (sen^2(x^2) + ln(x^2 + 1)) / (x^2 * arctg(x))

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função . A matéria que estamos usando aqui é o estudo de continuidade de funções, que envolve entender onde a função está definida e se não há quebras ou interrupções no seu gráfico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções trigonométricas, logarítmicas e da função arco-tangente, além de saber como identificar pontos onde a função pode não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está bem definida. Olhando para o denominador , precisamos garantir que ele não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos analisar quando o denominador é zero:
  • quando .
  • quando .
Então, o denominador é zero apenas em . Portanto, a função não está definida em .

Passo 4

Agora, observamos o numerador :
  • está definida para todos os , já que o seno está definido para todos os números reais.
  • também está definida para todos os , porque é sempre positivo.
Portanto, o numerador está definido para todo , mas o denominador não está definido em .

Passo 5

Para verificar a continuidade, precisamos ver se a função pode ser estendida em . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0:
Sabemos que:
  • quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
Substituindo essas aproximações:
Como o limite tende ao infinito, a função não pode ser estendida de forma contínua em .

Resposta

A função é contínua para todos os valores de reais, exceto em , onde apresenta uma descontinuidade.

Exercícios relacionados