Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(w) lim x 0(1+x^2) 1x^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em Cálculo, e para resolver esse tipo de limite, vamos precisar usar propriedades de limites e a definição do número .

Passo 2

Observamos que a expressão tem a forma , onde . Sabemos que conforme se aproxima de 0, essa expressão se aproxima de . Para entender melhor, vamos usar o logaritmo natural para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural nos dois lados da expressão para transformar a potência em multiplicação:
ln((1 + x^2)^1x^2) = 1x^2 cdot ln(1 + x^2)
Agora, nosso objetivo é calcular o limite do lado direito dessa equação conforme se aproxima de 0.

Passo 4

Calculamos o limite da expressão obtida:
limx 0 ln(1 + x^2)x^2
Sabemos que, quando ln(1 + x^2) approx x^2 se aproxima de 0, limx 0 x^2x^2 = 1 . Portanto, podemos aproximar:
limx 0 ln((1 + x^2)^1x^2) = 1
Substituindo na expressão do limite:
Portanto,

Passo 5

Como aplicamos o logaritmo natural inicialmente, para encontrar o limite original, precisamos voltar usando a função exponencial:
limx 0 (1 + x^2)^1x^2 = e^1 = e

Resposta

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