Prove que existe um ponto de interseção entre o gráfico de f(x) = x^4 + 2x^2 + 1 e o gráfico de g(x) = 2x^2 - x + 2 no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que as curvas dos gráficos de e se cruzam no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar que uma função continua atinge todos os valores entre dois pontos. Precisamos verificar os valores das funções nos extremos do intervalo e ver se elas mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos criar uma nova função que é a diferença entre e :
Isso simplifica para:
Nossa meta agora é encontrar um em onde , ou seja, onde .

Passo 3

Vamos calcular :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Portanto, .

Passo 5

Perceba que e . Isso significa que mudou de negativo para positivo quando passou de 0 para 1.

Passo 6

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo. Como é um polinômio, que é contínuo, e passou de para , existe pelo menos um em tal que .

Resposta

Existe pelo menos um ponto de interseção entre os gráficos de e no intervalo .

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