Prove que existe um ponto de interseção entre o gráfico de
e o gráfico de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que as curvas dos gráficos de
e
se cruzam no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar que uma função continua atinge todos os valores entre dois pontos. Precisamos verificar os valores das funções nos extremos do intervalo e ver se elas mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos criar uma nova função
que é a diferença entre
e
:
Isso simplifica para:
Nossa meta agora é encontrar um
em
onde
, ou seja, onde
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Portanto,
.
Passo 5
Perceba que
e
. Isso significa que
mudou de negativo para positivo quando
passou de 0 para 1.
Passo 6
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo. Como
é um polinômio, que é contínuo, e passou de
para
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Resposta
Existe pelo menos um ponto de interseção entre os gráficos de
e
no intervalo
.