Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. O conteúdo envolvido aqui é o de convergência de séries, utilizando testes como o de convergência absoluta e o teste da série alternada. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esses testes passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais alternados, ou seja,
. Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente.
Passo 3
Para analisar
, podemos usar o Teste da Integral. Vamos considerar a função
, que é positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 4
Calculando a integral:
Fazendo a substituição
, temos
. A integral se torna:
Essa integral é igual a
avaliada de
até
.
Passo 5
Ao calcular o limite, percebemos que conforme
,
. Isso significa que a integral diverge, então, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz).
Passo 7
Para aplicar o Teste de Leibniz, precisamos verificar dois pontos:
-
é decrescente para grande. -
.
Passo 8
Primeiro, observamos que
é decrescente para
suficientemente grande, já que o crescimento de
no denominador supera o crescimento logarítmico no numerador.
Passo 9
Segundo, calculamos o limite:
Isso ocorre porque, para qualquer potência
, o denominador
cresce mais rápido que
.
Resposta
Portanto, a série
converge condicionalmente.
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Calcule
.
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente
Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d. é sempre divergente.
d.