Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. O conteúdo envolvido aqui é o de convergência de séries, utilizando testes como o de convergência absoluta e o teste da série alternada. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esses testes passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, . Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente.

Passo 3

Para analisar , podemos usar o Teste da Integral. Vamos considerar a função , que é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 4

Calculando a integral:
Fazendo a substituição , temos . A integral se torna:
Essa integral é igual a avaliada de até .

Passo 5

Ao calcular o limite, percebemos que conforme , . Isso significa que a integral diverge, então, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz).

Passo 7

Para aplicar o Teste de Leibniz, precisamos verificar dois pontos:
  1. é decrescente para grande.
  2. .

Passo 8

Primeiro, observamos que é decrescente para suficientemente grande, já que o crescimento de no denominador supera o crescimento logarítmico no numerador.

Passo 9

Segundo, calculamos o limite:
Isso ocorre porque, para qualquer potência , o denominador cresce mais rápido que .

Resposta

Portanto, a série converge condicionalmente.

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Calcule .
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente
Suponha que a série diverge e que . Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d. é sempre divergente.