Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é investigar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar alguns conceitos de cálculo de séries infinitas, especificamente o Teste da Raiz.

Passo 2

O Teste da Raiz é útil quando os termos da série têm potências com expoentes que dependem de . Esse teste diz que se:
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar o Teste da Raiz.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a raiz enésima de :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos reescrever a expressão de uma forma mais conveniente. Note que:
Sabemos que:
onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Aplicando esse conhecimento ao nosso limite:
Então, temos:

Passo 6

De acordo com o Teste da Raiz, como , podemos concluir que a série:
converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Calcule a integral.
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Calcule .
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente