Investigue a convergência das seguintes séries:
sumn=1^+infty(nn+1)^n(n+1) cdot R.: convergente

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^+infty(nn+1)^n(n+1)
O objetivo é investigar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar alguns conceitos de cálculo de séries infinitas, especificamente o Teste da Raiz.

Passo 2

O Teste da Raiz é útil quando os termos da série têm potências com expoentes que dependem de limn to infty raiz[n]|an| = L . Esse teste diz que se:
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar o Teste da Raiz.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a raiz enésima de raiz[n]an = raiz[n](nn+1)^n(n+1) = (nn+1)^n+1 :
limn to infty (nn+1)^n+1
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos reescrever a expressão de uma forma mais conveniente. Note que:
(nn+1)^n+1 = (1 - 1n+1)^n+1
Sabemos que:
limm to infty (1 - 1m)^m = 1e
onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Aplicando esse conhecimento ao nosso limite:
limn to infty (1 - 1n+1)^n+1 = 1e
Então, temos:
L = 1e approx 0,3679 < 1

Passo 6

De acordo com o Teste da Raiz, como sumn=1^+infty(nn+1)^n(n+1) , podemos concluir que a série:
converge.

Resposta

A série converge.

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