Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é investigar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar alguns conceitos de cálculo de séries infinitas, especificamente o Teste da Raiz.
Passo 2
O Teste da Raiz é útil quando os termos da série têm potências com expoentes que dependem de
. Esse teste diz que se:
então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
. Vamos aplicar o Teste da Raiz.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a raiz enésima de
:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 4
Para resolver esse limite, podemos reescrever a expressão de uma forma mais conveniente. Note que:
Sabemos que:
onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
Passo 5
Aplicando esse conhecimento ao nosso limite:
Então, temos:
Passo 6
De acordo com o Teste da Raiz, como
, podemos concluir que a série:
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Calcule
.
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente