Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente
Passo 1
Vamos analisar a série
. Nosso objetivo é determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte alternada da série, que é
. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal a cada termo. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Convergência Alternada.
Passo 3
O Teste da Convergência Alternada diz que, para uma série da forma
, a série converge se:
-
é positiva para todo . -
é decrescente. -
.
Vamos verificar esses pontos para
.
Passo 4
Primeiro, analisamos se
:
Passo 5
Agora, verificamos se
é decrescente. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Como
diminui quando
aumenta,
também diminui. Portanto,
é decrescente.
Passo 6
Por último, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, então:
Assim,
.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Convergência Alternada são satisfeitas, concluímos que a série
converge.
Passo 8
Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Vamos verificar se essa série converge.
Passo 9
Observamos que
para grandes
. Assim,
.
Então, a série
se comporta como
.
Passo 10
Sabemos que
diverge, conforme o Teste da Integral, pois a integral
também diverge.
Passo 11
Como a série dos valores absolutos diverge, mas a série original converge, concluímos que a série
converge condicionalmente.
Resposta
A série
é condicionalmente convergente.
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Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente
Calcule
.
Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d. é sempre divergente.
d.
Usando a Definição de continuidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau é contínuo em
; ou seja
.
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau