Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty(-1)^n(raiz[n]n-1). R.: condicionalmente convergente

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte alternada da série, que é . Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal a cada termo. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Convergência Alternada.

Passo 3

O Teste da Convergência Alternada diz que, para uma série da forma , a série converge se:
  1. é positiva para todo .
  2. é decrescente.
  3. .
Vamos verificar esses pontos para .

Passo 4

Primeiro, analisamos se :
. Como para , temos , então .

Passo 5

Agora, verificamos se é decrescente. Calculamos a derivada de em relação a :
Como diminui quando aumenta, também diminui. Portanto, é decrescente.

Passo 6

Por último, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que , então:
Assim, .

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Convergência Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge.

Passo 8

Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Vamos verificar se essa série converge.

Passo 9

Observamos que para grandes . Assim, .
Então, a série se comporta como .

Passo 10

Sabemos que diverge, conforme o Teste da Integral, pois a integral também diverge.

Passo 11

Como a série dos valores absolutos diverge, mas a série original converge, concluímos que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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