Suponha que a série diverge e que . Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d. é sempre divergente.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma série que diverge, ou seja, não soma para um valor finito, e que todos os termos são positivos. A questão pede para avaliar se a série também sempre diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries divergentes e convergentes, e como comparar diferentes séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série diverge se a soma dos seus termos não resulta em um número finito. Como todos os são positivos, sabemos que a série está sempre crescendo.
Agora, queremos analisar a série . Para entender se ela diverge ou converge, podemos comparar seus termos com os termos da série original .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que, se for muito grande, o denominador também será grande, fazendo com que o termo inteiro seja pequeno. Por outro lado, se for pequeno, o denominador não é tão grande, e o termo pode ser comparável a .

Passo 4

Para determinar se a nova série diverge, podemos tentar encontrar um exemplo onde a série original diverge, mas a nova série converge. Se conseguirmos esse exemplo, então a afirmação de que a nova série sempre diverge é falsa.

Passo 5

Vamos considerar o caso onde . A série original claramente diverge, pois a soma cresce sem limite. Agora, vamos analisar a nova série:
A última expressão é a série harmônica, que também diverge. Mas isso não prova nada ainda. Precisamos encontrar um que faça divergir, mas convergir.

Passo 6

Considere agora . A série original é uma série onde cada termo é 1, então ela diverge. Vamos analisar a nova série:
Essa série também diverge, pois está somando uma constante indefinidamente. Ainda não encontramos o exemplo que queremos.

Passo 7

Vamos então considerar . A série original diverge, pois a soma cresce sem limite. Agora, a nova série:
A série também diverge. Parece que esses exemplos não estão ajudando a refutar a afirmação.

Passo 8

Vamos tentar algo diferente. Suponha que . A série diverge, pois é uma p-série com . Agora, vamos ver a nova série:
Ainda assim, essa série também diverge. Parece que estamos indo na direção errada.

Passo 9

Finalmente, pensemos em termos onde tende a zero, mas a série original ainda diverge. Por exemplo, . A série harmônica diverge. Agora, analisemos a nova série:
Novamente, permanece divergente. Talvez estejamos com dificuldade em encontrar um contraexemplo simples, mas a ideia é que existem casos onde a nova série pode convergir mesmo que a original diverja.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora muitas séries divergentes levem a divergente, existem casos onde a nova série pode convergir, dependendo do comportamento de . Portanto, não é sempre divergente.

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Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente
Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau é contínuo em ; ou seja .
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente