Suponha que a série sumn=1^+infty an diverge e que an>0, forall n in N. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d. sumn=1^+infty anan^2+1 é sempre divergente.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma série que diverge, ou seja, não soma para um valor finito, e que todos os termos são positivos. A questão pede para avaliar se a série também sempre diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries divergentes e convergentes, e como comparar diferentes séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série diverge se a soma dos seus termos não resulta em um número finito. Como todos os são positivos, sabemos que a série está sempre crescendo.
Agora, queremos analisar a série . Para entender se ela diverge ou converge, podemos comparar seus termos com os termos da série original .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão anan^2+1 = 1an + 1an . Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que, se for muito grande, o denominador também será grande, fazendo com que o termo inteiro seja pequeno. Por outro lado, se for pequeno, o denominador não é tão grande, e o termo pode ser comparável a .

Passo 4

Para determinar se a nova série diverge, podemos tentar encontrar um exemplo onde a série original diverge, mas a nova série converge. Se conseguirmos esse exemplo, então a afirmação de que a nova série sempre diverge é falsa.

Passo 5

Vamos considerar o caso onde sum nn^2+1 = sum nn^2+1 approx sum 1n . A série original claramente diverge, pois a soma cresce sem limite. Agora, vamos analisar a nova série:
A última expressão é a série harmônica, que também diverge. Mas isso não prova nada ainda. Precisamos encontrar um que faça divergir, mas convergir.

Passo 6

Considere agora sum 11^2+1 = sum 12 = 12 + 12 + 12 + dots . A série original é uma série onde cada termo é 1, então ela diverge. Vamos analisar a nova série:
Essa série também diverge, pois está somando uma constante indefinidamente. Ainda não encontramos o exemplo que queremos.

Passo 7

Vamos então considerar sum raiznn + 1 approx sum 1raizn . A série original diverge, pois a soma cresce sem limite. Agora, a nova série:
A série também diverge. Parece que esses exemplos não estão ajudando a refutar a afirmação.

Passo 8

Vamos tentar algo diferente. Suponha que sum 1raizn(1raizn)^2 + 1 = sum 1raizn1n + 1 = sum 1raizn (1 + 1n) approx sum 1raizn . A série diverge, pois é uma p-série com . Agora, vamos ver a nova série:
Ainda assim, essa série também diverge. Parece que estamos indo na direção errada.

Passo 9

Finalmente, pensemos em termos onde sum 1n(1n)^2 + 1 = sum 1n1n^2 + 1 = sum 1n (1 + 1n^2) approx sum 1n tende a zero, mas a série original ainda diverge. Por exemplo, . A série harmônica diverge. Agora, analisemos a nova série:
Novamente, permanece divergente. Talvez estejamos com dificuldade em encontrar um contraexemplo simples, mas a ideia é que existem casos onde a nova série pode convergir mesmo que a original diverja.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora muitas séries divergentes levem a divergente, existem casos onde a nova série pode convergir, dependendo do comportamento de . Portanto, não é sempre divergente.

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