Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d.
é sempre divergente.
d.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma série
que diverge, ou seja, não soma para um valor finito, e que todos os termos
são positivos. A questão pede para avaliar se a série
também sempre diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries divergentes e convergentes, e como comparar diferentes séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma série
diverge se a soma dos seus termos não resulta em um número finito. Como todos os
são positivos, sabemos que a série está sempre crescendo.
Agora, queremos analisar a série
. Para entender se ela diverge ou converge, podemos comparar seus termos com os termos da série original
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que, se
for muito grande, o denominador também será grande, fazendo com que o termo inteiro seja pequeno. Por outro lado, se
for pequeno, o denominador não é tão grande, e o termo pode ser comparável a
.
Passo 4
Para determinar se a nova série
diverge, podemos tentar encontrar um exemplo onde a série original
diverge, mas a nova série converge. Se conseguirmos esse exemplo, então a afirmação de que a nova série sempre diverge é falsa.
Passo 5
Vamos considerar o caso onde
. A série original
claramente diverge, pois a soma cresce sem limite. Agora, vamos analisar a nova série:
A última expressão é a série harmônica, que também diverge. Mas isso não prova nada ainda. Precisamos encontrar um
que faça
divergir, mas
convergir.
Passo 6
Considere agora
. A série original
é uma série onde cada termo é 1, então ela diverge. Vamos analisar a nova série:
Essa série também diverge, pois está somando uma constante indefinidamente. Ainda não encontramos o exemplo que queremos.
Passo 7
Vamos então considerar
. A série original
diverge, pois a soma cresce sem limite. Agora, a nova série:
A série
também diverge. Parece que esses exemplos não estão ajudando a refutar a afirmação.
Passo 8
Vamos tentar algo diferente. Suponha que
. A série
diverge, pois é uma p-série com
. Agora, vamos ver a nova série:
Ainda assim, essa série também diverge. Parece que estamos indo na direção errada.
Passo 9
Finalmente, pensemos em termos onde
tende a zero, mas a série original ainda diverge. Por exemplo,
. A série harmônica
diverge. Agora, analisemos a nova série:
Novamente, permanece divergente. Talvez estejamos com dificuldade em encontrar um contraexemplo simples, mas a ideia é que existem casos onde a nova série pode convergir mesmo que a original diverja.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora muitas séries
divergentes levem a
divergente, existem casos onde a nova série pode convergir, dependendo do comportamento de
. Portanto, não é sempre divergente.
Exercícios relacionados
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente
Usando a Definição de continuidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau é contínuo em
; ou seja
.
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente