Calcule lim x 0 1x integral0^x(1-tg 2 t)^1 / t d t.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando lim x 0 1x integral0^x(1-tan 2 t)^1 / t , dt se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites e integrais. Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de limites, integrais definidas e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da integral, (1 - tan 2t)^1/t = e^ln(1 - tan 2t)t , pode ser complicada de lidar diretamente. Para simplificar, vamos usar uma técnica que envolve o uso de logaritmos e exponenciais para reescrever a expressão de uma forma mais manejável.
Sabemos que . Aplicando isso à nossa expressão, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de tan 2t approx 2t + 83t^3 + dots para valores de tan 2t approx 2t próximos de 0. Sabemos que, para 1 - tan 2t approx 1 - 2t pequeno, pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Para muito pequeno, os termos de ordem superior podem ser negligenciados, então:
Portanto,

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão exponencial, temos:
e^ln(1 - 2t)t
Para simplificar ln(1 + x) approx x - x^22 + dots quando ln(1 - 2t) approx -2t - ( -2t )^22 = -2t - 2t^2 está próximo de 0, usamos a expansão de Taylor para ln(1 - 2t)t approx -2t - 2t^2t = -2 - 2t :
Aqui, , então:
Dividindo por :

Passo 5

Voltando à expressão exponencial:
e^-2 - 2t = e^-2 cdot e^-2t
Para (1 - tan 2t)^1/t approx e^-2 próximo de 0, , pois é muito pequeno. Portanto, a aproximação fica:

Passo 6

Agora, vamos substituir essa aproximação na integral:
integral0^x (1 - tan 2t)^1/t , dt approx integral0^x e^-2 , dt = e^-2 cdot x
Dividindo por 1x integral0^x (1 - tan 2t)^1/t , dt approx e^-2 cdot xx = e^-2 :

Resposta

Portanto, o limite é .

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