Calcule
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites e integrais. Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de limites, integrais definidas e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da integral,
, pode ser complicada de lidar diretamente. Para simplificar, vamos usar uma técnica que envolve o uso de logaritmos e exponenciais para reescrever a expressão de uma forma mais manejável.
Sabemos que
. Aplicando isso à nossa expressão, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
para valores de
próximos de 0. Sabemos que, para
pequeno,
pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Para
muito pequeno, os termos de ordem superior podem ser negligenciados, então:
Portanto,
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão exponencial, temos:
Para simplificar
quando
está próximo de 0, usamos a expansão de Taylor para
:
Aqui,
, então:
Dividindo por
:
Passo 5
Voltando à expressão exponencial:
Para
próximo de 0,
, pois
é muito pequeno. Portanto, a aproximação fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir essa aproximação na integral:
Dividindo por
:
Resposta
Portanto, o limite é
.
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Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Calcule a integral.
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente