Calcule .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites e integrais. Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de limites, integrais definidas e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da integral, , pode ser complicada de lidar diretamente. Para simplificar, vamos usar uma técnica que envolve o uso de logaritmos e exponenciais para reescrever a expressão de uma forma mais manejável.
Sabemos que . Aplicando isso à nossa expressão, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de para valores de próximos de 0. Sabemos que, para pequeno, pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Para muito pequeno, os termos de ordem superior podem ser negligenciados, então:
Portanto,

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão exponencial, temos:
Para simplificar quando está próximo de 0, usamos a expansão de Taylor para :
Aqui, , então:
Dividindo por :

Passo 5

Voltando à expressão exponencial:
Para próximo de 0, , pois é muito pequeno. Portanto, a aproximação fica:

Passo 6

Agora, vamos substituir essa aproximação na integral:
Dividindo por :

Resposta

Portanto, o limite é .

Exercícios relacionados

Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Calcule a integral.
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
é um número inteiro positivo. R.: condicionalmente convergente
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
. R.: condicionalmente convergente