Usando a Definição de continuidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau
é contínuo em
; ou seja
.
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente mostre que qualquer polinômio de grau
é contínuo em um ponto
. Isso significa que quando a gente calcula o limite da função polinomial quando
se aproxima de
, o resultado é exatamente o valor da função avaliando em
. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau
. Ele tem a forma:
onde
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição de limite. Queremos encontrar:
A ideia é mostrar que esse limite é igual a
.
Passo 4
Uma propriedade importante dos limites é que podemos separar o limite de uma soma na soma dos limites. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos calcular cada limite individualmente.
Passo 5
Vamos calcular cada um desses limites:
-
, para qualquer inteiro -
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, qualquer polinômio de grau
é contínuo no ponto
.
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diverge e que
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