Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau é contínuo em ; ou seja .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente mostre que qualquer polinômio de grau é contínuo em um ponto . Isso significa que quando a gente calcula o limite da função polinomial quando se aproxima de , o resultado é exatamente o valor da função avaliando em . Para isso, vamos usar a definição de continuidade e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau . Ele tem a forma:
onde são constantes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição de limite. Queremos encontrar:
A ideia é mostrar que esse limite é igual a .

Passo 4

Uma propriedade importante dos limites é que podemos separar o limite de uma soma na soma dos limites. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos calcular cada limite individualmente.

Passo 5

Vamos calcular cada um desses limites:
  • , para qualquer inteiro
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, qualquer polinômio de grau é contínuo no ponto .

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