Usando a Definição de continuidade: uma função f(x) é contínua em a, se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau n é contínuo em a; ou seja lim x a an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a1 x+a0=an a^n+an-1 a^n-1+ldots+a1 a+a0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente mostre que qualquer polinômio de grau n é contínuo em um ponto a. Isso significa que quando a gente calcula o limite da função polinomial quando x se aproxima de a, o resultado é exatamente o valor da função avaliando em a. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau n. Ele tem a forma:
f(x) = an x^n + an-1 x^n-1 + ldots + a1 x + a0
onde an, an-1, ldots, a1, a0 são constantes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição de limite. Queremos encontrar:
limx to a f(x) = limx to a (an x^n + an-1 x^n-1 + ldots + a1 x + a0)
A ideia é mostrar que esse limite é igual a f(a).

Passo 4

Uma propriedade importante dos limites é que podemos separar o limite de uma soma na soma dos limites. Ou seja:
limx to a (an x^n + an-1 x^n-1 + ldots + a1 x + a0) = an limx to a x^n + an-1 limx to a x^n-1 + ldots + a1 limx to a x + a0 limx to a 1
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos calcular cada limite individualmente.

Passo 5

Vamos calcular cada um desses limites:
  • limx to a x^k = a^k, para qualquer inteiro k >= 0
  • limx to a 1 = 1
Aplicando isso na nossa expressão:
an limx to a x^n = an a^n
an-1 limx to a x^n-1 = an-1 a^n-1
vdots
a1 limx to a x = a1 a
a0 limx to a 1 = a0

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:
limx to a f(x) = an a^n + an-1 a^n-1 + ldots + a1 a + a0 = f(a)

Resposta

Portanto, mostramos que limx to a f(x) = f(a), ou seja, qualquer polinômio de grau n é contínuo no ponto a.

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