Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
R.: converge absolutamente se diverge se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar se a série converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente o Teste da Raiz. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar esse teste para verificar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série , se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar o Teste da Raiz para ver qual é o limite .

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando, temos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse termo conforme tende ao infinito:
Aqui, a gente precisa pensar em como cresce em relação a . Se for maior que 1, o denominador cresce exponencialmente, bem mais rápido que o numerador.

Passo 5

Vamos analisar os casos:
  1. Se :
    • O denominador cresce muito rápido.
    • O limite , que é menor que 1.
    • Pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
  2. Se :
    • Se , o denominador é 1, então , que tende ao infinito, ou seja, a série diverge.
    • Se , o denominador tende a zero, então tende ao infinito, e a série diverge.

Resposta

A série converge absolutamente se e diverge se .

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Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
R.: absolutamente convergente