Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo: R.: converge absolutamente se diverge se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar se a série converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente o Teste da Raiz. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar esse teste para verificar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série , se :
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar o Teste da Raiz para ver qual é o limite .
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando, temos que:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse termo conforme tende ao infinito:
Aqui, a gente precisa pensar em como cresce em relação a . Se for maior que 1, o denominador cresce exponencialmente, bem mais rápido que o numerador.
Passo 5
Vamos analisar os casos:
Se :
O denominador cresce muito rápido.
O limite , que é menor que 1.
Pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Se :
Se , o denominador é 1, então , que tende ao infinito, ou seja, a série diverge.
Se , o denominador tende a zero, então tende ao infinito, e a série diverge.