Suponha que a série sumn=1^+infty an diverge e que an>0, forall n in N. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
a. Se ann=1^infty é limitada, então sumn=1^+infty anan+1 diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^+infty an que diverge, ou seja, ela não tem uma soma finita. Além disso, todos os termos an são positivos. A afirmação que vamos analisar é:
a. Se a sequência ann=1^infty é limitada, então a série sumn=1^+infty anan+1 também diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como isso afeta o comportamento da série modificada sum anan+1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência an é limitada se existe um número M tal que para todo n, |an| <= M. Neste caso, como an > 0, temos 0 < an <= M para algum M.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nova série sumn=1^+infty anan+1. Queremos saber se essa série também diverge quando a sequência an é limitada.
Para isso, observe que:
anan + 1 < anan = 1
Então, cada termo da nova série é menor que 1. Mas isso não nos dá muito informação sobre a convergência ou divergência.

Passo 4

Vamos tentar comparar as duas séries. Sabemos que sumn=1^+infty an diverge e an > 0. Agora, vamos comparar os termos:
anan + 1 = 11 + 1an
Como a sequência an é limitada, existe um M tal que an <= M. Portanto:
anan + 1 >= anM + 1
Isso significa que cada termo anan + 1 é pelo menos anM + 1.

Passo 5

Agora, vamos considerar a série sumn=1^+infty anM + 1. Como 1M + 1 é uma constante, podemos fatorá-la:
sumn=1^+infty anM + 1 = 1M + 1 sumn=1^+infty an
Sabemos que sumn=1^+infty an diverge. Então, multiplicar por uma constante positiva não muda o comportamento de divergência. Portanto, sumn=1^+infty anM + 1 também diverge.

Passo 6

Como cada termo da série sumn=1^+infty anan+1 é maior ou igual a anM + 1 e a série sumn=1^+infty anM + 1 diverge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série sumn=1^+infty anan+1 também diverge.

Resposta

Verdadeira. Se a sequência an é limitada, então a série sumn=1^+infty anan+1 também diverge.

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