Suponha que a série diverge e que . Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
a. Se é limitada, então diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos uma série infinita que diverge, ou seja, ela não tem uma soma finita. Além disso, todos os termos são positivos. A afirmação que vamos analisar é:
a. Se a sequência é limitada, então a série também diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como isso afeta o comportamento da série modificada .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número tal que para todo , . Neste caso, como , temos para algum .

Passo 3

Agora, vamos analisar a nova série . Queremos saber se essa série também diverge quando a sequência é limitada.
Para isso, observe que:
Então, cada termo da nova série é menor que 1. Mas isso não nos dá muito informação sobre a convergência ou divergência.

Passo 4

Vamos tentar comparar as duas séries. Sabemos que diverge e . Agora, vamos comparar os termos:
Como a sequência é limitada, existe um tal que . Portanto:
Isso significa que cada termo é pelo menos .

Passo 5

Agora, vamos considerar a série . Como é uma constante, podemos fatorá-la:
Sabemos que diverge. Então, multiplicar por uma constante positiva não muda o comportamento de divergência. Portanto, também diverge.

Passo 6

Como cada termo da série é maior ou igual a e a série diverge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série também diverge.

Resposta

Verdadeira. Se a sequência é limitada, então a série também diverge.

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