Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
a. Se
é limitada, então
diverge.
a. Se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos uma série infinita
que diverge, ou seja, ela não tem uma soma finita. Além disso, todos os termos
são positivos. A afirmação que vamos analisar é:
a. Se a sequência
é limitada, então a série
também diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como isso afeta o comportamento da série modificada
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número
tal que para todo
,
. Neste caso, como
, temos
para algum
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nova série
. Queremos saber se essa série também diverge quando a sequência
é limitada.
Para isso, observe que:
Então, cada termo da nova série é menor que 1. Mas isso não nos dá muito informação sobre a convergência ou divergência.
Passo 4
Vamos tentar comparar as duas séries. Sabemos que
diverge e
. Agora, vamos comparar os termos:
Como a sequência
é limitada, existe um
tal que
. Portanto:
Isso significa que cada termo
é pelo menos
.
Passo 5
Agora, vamos considerar a série
. Como
é uma constante, podemos fatorá-la:
Sabemos que
diverge. Então, multiplicar por uma constante positiva não muda o comportamento de divergência. Portanto,
também diverge.
Passo 6
Como cada termo da série
é maior ou igual a
e a série
diverge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série
também diverge.
Resposta
Verdadeira. Se a sequência
é limitada, então a série
também diverge.