Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo: R.: absolutamente convergente
Passo 1
Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge absolutamente, converges de forma condicional ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e aplicar o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar se a série dos valores absolutos converge. A série dos valores absolutos é:
Passo 3
Para determinar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste afirma que se:
limn to infty raiz[n]|an| = L
então:
Se limn to infty raiz[n](raiz[n]n - 1)^n = limn to infty (raiz[n]n - 1) , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular o limite:
Passo 4
Sabemos que:
limn to infty raiz[n]n = 1
Portanto:
limn to infty (raiz[n]n - 1) = 0
Passo 5
Como o limite é:
0 < 1
Segundo o Teste da Raiz, isso significa que a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty (raiz[n]n - 1)^n
converge absolutamente.
Passo 6
Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original: