Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
R.: absolutamente convergente

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge absolutamente, converges de forma condicional ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e aplicar o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar se a série dos valores absolutos converge. A série dos valores absolutos é:

Passo 3

Para determinar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste afirma que se:
então:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular o limite:

Passo 4

Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Como o limite é:
Segundo o Teste da Raiz, isso significa que a série dos valores absolutos:
converge absolutamente.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original:
também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Suponha que a série diverge e que . Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
a. Se é limitada, então diverge.
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R.: converge absolutamente se diverge se .
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c. é sempre convergente.