Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty(-1)^n(raiz[n]n-1)^n R.: absolutamente convergente

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge absolutamente, converges de forma condicional ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e aplicar o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar se a série dos valores absolutos converge. A série dos valores absolutos é:
sumn=1^infty | (-1)^n (raiz[n]n - 1)^n | = sumn=1^infty (raiz[n]n - 1)^n

Passo 3

Para determinar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste afirma que se:
limn to infty raiz[n]|an| = L
então:
  • Se limn to infty raiz[n](raiz[n]n - 1)^n = limn to infty (raiz[n]n - 1) , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular o limite:

Passo 4

Sabemos que:
limn to infty raiz[n]n = 1
Portanto:
limn to infty (raiz[n]n - 1) = 0

Passo 5

Como o limite é:
0 < 1
Segundo o Teste da Raiz, isso significa que a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty (raiz[n]n - 1)^n
converge absolutamente.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original:
sumn=1^infty (-1)^n (raiz[n]n - 1)^n
também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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