Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
7. Use a fórmula trigonométrica e demonstre, usando o teorema do confronto, que . Faça o mesmo para o . Com isso, mostra-se que as funções seno e cosseno são funções contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as funções seno e cosseno são contínuas. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e uma fórmula trigonométrica específica. Precisamos entender as propriedades dos limites e aplicar o teorema do confronto (também conhecido como teorema do sanduíche).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade. Uma função é contínua em se duas condições forem verdadeiras:
  1. existe.
  2. .
Nosso objetivo é mostrar que e , garantindo assim a continuidade dessas funções.

Passo 3

Vamos começar com a função seno. Usamos a fórmula trigonométrica fornecida:
Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de :

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte do produto no limite. Sabemos que:
E também:
Então, o produto dos limites será:

Passo 5

Mas para termos certeza, usamos o teorema do confronto. Sabemos que para todo . Aplicando isso:
Multiplicando por , já que :
Quando , . Assim, pelo teorema do confronto:

Passo 6

Com isso, temos que:
Isso mostra que a função seno é contínua em .

Passo 7

Vamos repetir o processo para a função cosseno. Usamos uma fórmula trigonométrica similar:
Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de :

Passo 8

Analisando cada parte:
E:
Portanto, o produto dos limites é:

Passo 9

Usando novamente o teorema do confronto, sabemos que . Então:
Multiplicando por 2:
Quando , . Assim, pelo teorema do confronto:

Passo 10

Com isso, temos que:
Isso mostra que a função cosseno é contínua em .

Resposta

Portanto, mostramos que tanto quanto são funções contínuas em utilizando a definição de continuidade, fórmulas trigonométricas e o teorema do confronto.

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