Usando a Definição de continuidade: uma função f(x) é contínua em a, se, e somente se duas condições se verificam:
7. Use a fórmula trigonométrica sen(x)-sen(a)=2 sen(x-a2) cos (x+a2) e demonstre, usando o teorema do confronto, que lim x a sen(x)-sen(a)=0. Faça o mesmo para o cos (x). Com isso, mostra-se que as funções seno e cosseno são funções contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as funções seno e cosseno são contínuas. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e uma fórmula trigonométrica específica. Precisamos entender as propriedades dos limites e aplicar o teorema do confronto (também conhecido como teorema do sanduíche).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade. Uma função é contínua em se duas condições forem verdadeiras:
  1. existe.
  2. .
Nosso objetivo é mostrar que e , garantindo assim a continuidade dessas funções.

Passo 3

Vamos começar com a função seno. Usamos a fórmula trigonométrica fornecida:
Queremos encontrar o limite de quando sen(x) - sen(a) = 2 sen(x - a2) cos(x + a2) se aproxima de limx to a [sen(x) - sen(a)] = limx to a 2 sen(x - a2) cos(x + a2) :

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte do produto no limite. Sabemos que:
E também:
limx to a sen(x - a2) = sen(02) = sen(0) = 0
Então, o produto dos limites será:
limx to a cos(x + a2) = cos(2a2) = cos(a)

Passo 5

Mas para termos certeza, usamos o teorema do confronto. Sabemos que para todo | sen(x - a2) | <= | x - a2 | . Aplicando isso:
Multiplicando por | 2 sen(x - a2) cos(x + a2) | <= 2 times | x - a2 | = |x - a| , já que limx to a [sen(x) - sen(a)] = 0 :
Quando , . Assim, pelo teorema do confronto:

Passo 6

Com isso, temos que:
Isso mostra que a função seno é contínua em limx to a sen(x) = sen(a) .

Passo 7

Vamos repetir o processo para a função cosseno. Usamos uma fórmula trigonométrica similar:
Queremos encontrar o limite de cos(x) - cos(a) = -2 sen(x - a2) sen(x + a2) quando limx to a [cos(x) - cos(a)] = limx to a -2 sen(x - a2) sen(x + a2) se aproxima de :

Passo 8

Analisando cada parte:
E:
Portanto, o produto dos limites é:

Passo 9

Usando novamente o teorema do confronto, sabemos que . Então:
Multiplicando por 2:
Quando | sen(x - a2) sen(x + a2) | <= | x - a2 | times |sen(a)| <= | x - a2 | times 1 = | x - a2 | , | -2 sen(x - a2) sen(x + a2) | <= |x - a| . Assim, pelo teorema do confronto:
limx to a [cos(x) - cos(a)] = 0

Passo 10

Com isso, temos que:
limx to a cos(x) = cos(a)
Isso mostra que a função cosseno é contínua em .

Resposta

Portanto, mostramos que tanto quanto são funções contínuas em utilizando a definição de continuidade, fórmulas trigonométricas e o teorema do confronto.

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