Usando a Definição de continuidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
7. Use a fórmula trigonométrica
e demonstre, usando o teorema do confronto, que
. Faça o mesmo para o
. Com isso, mostra-se que as funções seno e cosseno são funções contínuas.
7. Use a fórmula trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as funções seno e cosseno são contínuas. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e uma fórmula trigonométrica específica. Precisamos entender as propriedades dos limites e aplicar o teorema do confronto (também conhecido como teorema do sanduíche).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade. Uma função
é contínua em
se duas condições forem verdadeiras:
-
existe. -
.
Nosso objetivo é mostrar que e
, garantindo assim a continuidade dessas funções.
Passo 3
Vamos começar com a função seno. Usamos a fórmula trigonométrica fornecida:
Queremos encontrar o limite de quando
se aproxima de
:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte do produto no limite. Sabemos que:
E também:
Então, o produto dos limites será:
Passo 5
Mas para termos certeza, usamos o teorema do confronto. Sabemos que para todo
. Aplicando isso:
Multiplicando por
, já que
:
Quando
,
. Assim, pelo teorema do confronto:
Passo 6
Com isso, temos que:
Isso mostra que a função seno é contínua em
.
Passo 7
Vamos repetir o processo para a função cosseno. Usamos uma fórmula trigonométrica similar:
Queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
:
Passo 8
Analisando cada parte:
E:
Portanto, o produto dos limites é:
Passo 9
Usando novamente o teorema do confronto, sabemos que . Então:
Multiplicando por 2:
Quando
,
. Assim, pelo teorema do confronto:
Passo 10
Com isso, temos que:
Isso mostra que a função cosseno é contínua em
.
Resposta
Portanto, mostramos que tanto quanto
são funções contínuas em
utilizando a definição de continuidade, fórmulas trigonométricas e o teorema do confronto.
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.
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diverge.
a. Se