O valor de revenda de certa máquina industrial diminui durante um período de 10 anos a uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem
anos de idade, a taxa com a qual o valor está diminuindo é
reais por ano. Qual é a depreciação da máquina durante o segundo ano?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma máquina que perde valor quando passa o tempo. Essa perda de valor, ou depreciação, acontece de forma que a taxa pela qual ela está perdendo valor muda conforme a máquina envelhece. O problema nos dá uma fórmula para essa taxa: quando a máquina tem
anos, a taxa de depreciação é
reais por ano. A pergunta é: qual foi a depreciação da máquina durante o segundo ano de uso?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de depreciação
. Essa expressão nos diz quanto o valor da máquina está diminuindo a cada ano, dependendo da idade
da máquina. Note que
representa os anos de idade da máquina.
Passo 3
Como queremos saber a depreciação durante o segundo ano, precisamos calcular como essa taxa de depreciação atua entre o primeiro e o segundo ano de uso da máquina. Ou seja, vamos analisar de quando a máquina tem 1 ano (
) até quando ela completa 2 anos (
).
Passo 4
Para encontrar a depreciação total nesse período, vamos integrar a taxa de depreciação de
até
. A integral da taxa de depreciação nos dá a depreciação total nesse intervalo de tempo.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiramente, vamos integrar a função
:
Como vamos avaliar de 1 a 2, o termo constante
não é necessário.
Passo 7
Vamos agora calcular os valores nos limites da integral:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, subtraímos os valores encontrados:
Resposta
A depreciação da máquina durante o segundo ano foi de R$ 1.870,00.
Exercícios relacionados
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
R.: absolutamente convergente
Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
a. Se é limitada, então
diverge.
a. Se
Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
c. é sempre convergente.
c.
Encontre uma fórmula para a função inversa.
(a)
(a)