O valor de revenda de certa máquina industrial diminui durante um período de 10 anos a uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem anos de idade, a taxa com a qual o valor está diminuindo é reais por ano. Qual é a depreciação da máquina durante o segundo ano?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma máquina que perde valor quando passa o tempo. Essa perda de valor, ou depreciação, acontece de forma que a taxa pela qual ela está perdendo valor muda conforme a máquina envelhece. O problema nos dá uma fórmula para essa taxa: quando a máquina tem anos, a taxa de depreciação é reais por ano. A pergunta é: qual foi a depreciação da máquina durante o segundo ano de uso?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de depreciação . Essa expressão nos diz quanto o valor da máquina está diminuindo a cada ano, dependendo da idade da máquina. Note que representa os anos de idade da máquina.

Passo 3

Como queremos saber a depreciação durante o segundo ano, precisamos calcular como essa taxa de depreciação atua entre o primeiro e o segundo ano de uso da máquina. Ou seja, vamos analisar de quando a máquina tem 1 ano ( ) até quando ela completa 2 anos ( ).

Passo 4

Para encontrar a depreciação total nesse período, vamos integrar a taxa de depreciação de até . A integral da taxa de depreciação nos dá a depreciação total nesse intervalo de tempo.

Passo 5

Vamos montar a integral:
çã

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiramente, vamos integrar a função :
Como vamos avaliar de 1 a 2, o termo constante não é necessário.

Passo 7

Vamos agora calcular os valores nos limites da integral:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, subtraímos os valores encontrados:
çã

Resposta

A depreciação da máquina durante o segundo ano foi de R$ 1.870,00.

Exercícios relacionados

Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
R.: absolutamente convergente
Suponha que a série diverge e que . Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
a. Se é limitada, então diverge.
Suponha que a série diverge e que . Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
c. é sempre convergente.
Encontre uma fórmula para a função inversa.
(a)